2022.11.08 NOIP2022 模拟赛五

「LibreOJ NOIP Round #1」DNA 序列

注意到 $k=10$，$|\Sigma|=4$，故本质不同的子串个数只有 $4^{10}$ 种，可以直接压位存下来。

时间复杂度 $O(nk)$。

Code

const int N=5e6+5;

char ch[N];

int n,K,bl[N];

int turn(char ch) {

	if(ch=='A') return 0;

	if(ch=='C') return 1;

	if(ch=='G') return 2;

	if(ch=='T') return 3;

	assert(0);

}

int main() {

	scanf("%s",ch+1);

	scanf("%d",&K);

	n=strlen(ch+1);

	int ans=0;

	FOR(i,1,n-K+1) {

		int sum=0;

		FOR(j,1,K) sum=4*sum+turn(ch[i+j-1]);

		bl[sum]++,ans=max(ans,bl[sum]);

	}

	printf("%d\n",ans);

}

「LibreOJ NOIP Round #1」数列递推

注意到当 $a_{i+1},a_{i}$ 同号时序列单增/单减，故考虑暴力递推直到序列单增单减，特殊记录前面的答案即可。

可以证明前面只有 $\log a_i$ 项，故时间复杂度 $O(T\log a_i)$。

Code

const int M=3e5+5;

const __int128 inf=1e18;

int v[M];

map<int,int> app;

int main() {

	int m;scanf("%d",&m);

	FOR(i,1,m) scanf("%d",&v[i]),app[v[i]]=1;

	int q;scanf("%d",&q);

	while(q--) {

		int a0,a1,k;

		scanf("%d %d %d",&a0,&a1,&k);

		if(a0==0&&a1==0) {

			printf("%d %d\n",v[1],v[1]);

			continue;

		}

		__int128 a=a0,b=a1,c,ma=-inf,mi=inf;

		int o1=0,o2=0,i,op;

		if(app[0]) ma=mi=a0;

		if(app[1]) {

			if(ma<a1) ma=a1,o1=1;

			if(mi>a1) mi=a1,o2=1;

		}

		for(i=2;;i++) {

			c=a+b*k;

			if(c>inf||c<-inf) {

				if(c>inf&&i<v[m]) o1=v[m];

				else if(i<v[m]) o2=v[m];

				break;

			}

			if(app[i]) {

				if(ma<c) ma=c,o1=i;

				if(mi>c) mi=c,o2=i;

			}

			a=b,b=c;

		}

		if(o1==0) o1=v[1];

		if(o2==0) o2=v[1];

		printf("%d %d\n",o1,o2);

	}

}

「LibreOJ NOIP Round #1」旅游路线

考虑 DP，记 $f_{u,i}$ 表示现在在 $u$，手里有 $i$ 块钱，准备在 $u$ 这个位置加油，可以得到的最大路程，有转移：

\[f_{u,i}=\max_v (f_{v,i-p_u}+w_{u,v,\min(C,c_u)})
\]

其中 $w_{u,v,i}$ 表示从 $u$ 到 $v$ 至多走 $i$ 步得到的最大路程。

注意到对于任意一个 $u$，$\min(C,c_u)$ 是固定的，考虑使用倍增来加速这个求的过程，记 $g_{u,v,d}$ 表示 $u$ 到 $v$ 走至多 $2^d$ 步的最大路程，有转移：

\[g_{u,v,d}=\max(g_{u,v,d-1},\max_x(g_{u,x,d}+g_{x,v,d}))
\]

那么 $w$ 也可以转移出来：

\[w_{u,v,x}=\max_y(w_{u,y,x-2^k}+g_{y,v,k})
\]

DP 即可，询问时二分一下就行。

总时间复杂度 $O(n^3\log V+n^4+T\log V)$。

Code

const int N=105,inf=1e9;

int n,m,C,Q;

int p[N],c[N],g[N][N][17],f[N][N*N],w[N][N],a[N],b[N];

int main() {

    scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&C,&Q);

    FOR(i,1,n) {

        scanf("%d %d",&p[i],&c[i]);

        c[i]=min(c[i],C);

    }

    FOR(i,1,n) FOR(j,1,n) FOR(k,0,16) g[i][j][k]=-inf;

    FOR(i,1,n) g[i][i][0]=0;

    FOR(i,1,m) {

        int x,y,v;

        scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);

        chkmax(g[x][y][0],v);

    }

    FOR(k,1,16) FOR(i,1,n) FOR(j,1,n) {

        chkmax(g[i][j][k],g[i][j][k-1]);

        FOR(x,1,n) chkmax(g[i][j][k],g[i][x][k-1]+g[x][j][k-1]);

    }

    FOR(i,1,n) {

        FOR(j,1,n) a[j]=-inf;

        a[i]=0;

        FOR(l,0,16) if(c[i]&(1<<l)) {

            FOR(j,1,n) b[j]=a[j];

            FOR(j,1,n) FOR(k,1,n) chkmax(b[k],a[j]+g[j][k][l]);

            FOR(j,1,n) a[j]=b[j];

        }

        FOR(j,1,n) w[i][j]=a[j];

    }

    FOR(i,0,n*n) FOR(u,1,n) if(i>=p[u]) FOR(v,1,n) chkmax(f[u][i],f[v][i-p[u]]+w[u][v]);

    while(Q--) {

        int s,q,d;

        scanf("%d %d %d",&s,&q,&d);

        int x=lower_bound(f[s],f[s]+q+1,d)-f[s];

        if(x>q) puts("-1");

        else printf("%d\n",q-x);

    }

}

「BalkanOI 2018」Election

将 C 看成 $1$，将 T 看成 $-1$，问题变为删去若干 T 后使前缀和 $pre_i\ge 0$，后缀和 $suf_i\ge 0$。

考虑先操作使得前缀和合法，此时的操作是，对于每一个第一次出现的前缀和为 $-i$，删去这个字母，操作次数为 $-\min pre_i$，此时的 $suf_i$ 会变化，设变化后的是 $suf'_i$，则代价同样是 $-\min suf'i$。

尝试求出 $suf'_{\min}$，考虑某一个位置 $p$，其没被加到的情况是 $-\min_{i<p}pre_q$，故其后缀和为 $suf_p+\min_{i<p}pre_i-pre_{\min}$。

故答案为 $-\min_{p<q}(pre_p+suf_q)$，可以转化为总和减去中间一段，中间一段是最大子段和，线段树维护即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

Code

const int N=5e5+5;

char ch[N];

int val[N];

struct node {int lma,rma,dat,sum;} tr[N*4];

node operator + (node a,node b) {

    node ret;

    ret.sum=a.sum+b.sum;

    ret.lma=max(a.lma,a.sum+b.lma);

    ret.rma=max(b.rma,b.sum+a.rma);

    ret.dat=max({a.dat,b.dat,a.rma+b.lma});

    return ret;

}

void build(int p,int l,int r) {

    if(l==r) {

        tr[p]={max(val[l],0),max(val[l],0),max(val[l],0),val[l]};

        return;

    }

    int mid=(l+r)>>1;

    build(p*2,l,mid),build(p*2+1,mid+1,r);

    tr[p]=tr[p*2]+tr[p*2+1];

}

node query(int p,int l,int r,int x,int y) {

    if(x<=l&&r<=y) return tr[p];

    int mid=(l+r)>>1;

    if(x>mid) return query(p*2+1,mid+1,r,x,y);

    if(y<=mid) return query(p*2,l,mid,x,y);

    return query(p*2,l,mid,x,y)+query(p*2+1,mid+1,r,x,y);

}

int main() {

    int n=read();scanf("%s",ch+1);

    FOR(i,1,n) {

        if(ch[i]=='C') val[i]=1;

        else val[i]=-1;

    }

    build(1,1,n);

    int q=read();

    while(q--) {

        int l=read(),r=read();

        node ret=query(1,1,n,l,r);

        printf("%d\n",ret.dat-ret.sum);

    }

}