2022.11.08 NOIP2022 模拟赛五

「LibreOJ NOIP Round #1」DNA 序列

注意到 \(k=10\)，\(|\Sigma|=4\)，故本质不同的子串个数只有 \(4^{10}\) 种，可以直接压位存下来。

时间复杂度 \(O(nk)\)。

Code

const int N=5e6+5;
char ch[N];
int n,K,bl[N];
int turn(char ch) {
	if(ch=='A') return 0;
	if(ch=='C') return 1;
	if(ch=='G') return 2;
	if(ch=='T') return 3;
	assert(0);
}
int main() {
	scanf("%s",ch+1);
	scanf("%d",&K);
	n=strlen(ch+1);
	int ans=0;
	FOR(i,1,n-K+1) {
		int sum=0;
		FOR(j,1,K) sum=4*sum+turn(ch[i+j-1]);
		bl[sum]++,ans=max(ans,bl[sum]);
	}
	printf("%d\n",ans);
}

「LibreOJ NOIP Round #1」数列递推

注意到当 \(a_{i+1},a_{i}\) 同号时序列单增/单减，故考虑暴力递推直到序列单增单减，特殊记录前面的答案即可。

可以证明前面只有 \(\log a_i\) 项，故时间复杂度 \(O(T\log a_i)\)。

Code

const int M=3e5+5;
const __int128 inf=1e18;
int v[M];
map<int,int> app;
int main() {
	int m;scanf("%d",&m);
	FOR(i,1,m) scanf("%d",&v[i]),app[v[i]]=1;
	int q;scanf("%d",&q);
	while(q--) {
		int a0,a1,k;
		scanf("%d %d %d",&a0,&a1,&k);
		if(a0==0&&a1==0) {
			printf("%d %d\n",v[1],v[1]);
			continue;
		}
		__int128 a=a0,b=a1,c,ma=-inf,mi=inf;
		int o1=0,o2=0,i,op;
		if(app[0]) ma=mi=a0;
		if(app[1]) {
			if(ma<a1) ma=a1,o1=1;
			if(mi>a1) mi=a1,o2=1;
		}
		for(i=2;;i++) {
			c=a+b*k;
			if(c>inf||c<-inf) {
				if(c>inf&&i<v[m]) o1=v[m];
				else if(i<v[m]) o2=v[m];
				break;
			}
			if(app[i]) {
				if(ma<c) ma=c,o1=i;
				if(mi>c) mi=c,o2=i;
			}
			a=b,b=c;
		}
		if(o1==0) o1=v[1];
		if(o2==0) o2=v[1];
		printf("%d %d\n",o1,o2);
	}
}

「LibreOJ NOIP Round #1」旅游路线

考虑 DP，记 \(f_{u,i}\) 表示现在在 \(u\)，手里有 \(i\) 块钱，准备在 \(u\) 这个位置加油，可以得到的最大路程，有转移：

\[f_{u,i}=\max_v (f_{v,i-p_u}+w_{u,v,\min(C,c_u)})
\]

其中 \(w_{u,v,i}\) 表示从 \(u\) 到 \(v\) 至多走 \(i\) 步得到的最大路程。

注意到对于任意一个 \(u\)，\(\min(C,c_u)\) 是固定的，考虑使用倍增来加速这个求的过程，记 \(g_{u,v,d}\) 表示 \(u\) 到 \(v\) 走至多 \(2^d\) 步的最大路程，有转移：

\[g_{u,v,d}=\max(g_{u,v,d-1},\max_x(g_{u,x,d}+g_{x,v,d}))
\]

那么 \(w\) 也可以转移出来：

\[w_{u,v,x}=\max_y(w_{u,y,x-2^k}+g_{y,v,k})
\]

DP 即可，询问时二分一下就行。

总时间复杂度 \(O(n^3\log V+n^4+T\log V)\)。

Code

const int N=105,inf=1e9;
int n,m,C,Q;
int p[N],c[N],g[N][N][17],f[N][N*N],w[N][N],a[N],b[N];
int main() {
    scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&C,&Q);
    FOR(i,1,n) {
        scanf("%d %d",&p[i],&c[i]);
        c[i]=min(c[i],C);
    }
    FOR(i,1,n) FOR(j,1,n) FOR(k,0,16) g[i][j][k]=-inf;
    FOR(i,1,n) g[i][i][0]=0;
    FOR(i,1,m) {
        int x,y,v;
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&v);
        chkmax(g[x][y][0],v);
    }
    FOR(k,1,16) FOR(i,1,n) FOR(j,1,n) {
        chkmax(g[i][j][k],g[i][j][k-1]);
        FOR(x,1,n) chkmax(g[i][j][k],g[i][x][k-1]+g[x][j][k-1]);
    }
    FOR(i,1,n) {
        FOR(j,1,n) a[j]=-inf;
        a[i]=0;
        FOR(l,0,16) if(c[i]&(1<<l)) {
            FOR(j,1,n) b[j]=a[j];
            FOR(j,1,n) FOR(k,1,n) chkmax(b[k],a[j]+g[j][k][l]);
            FOR(j,1,n) a[j]=b[j];
        }
        FOR(j,1,n) w[i][j]=a[j];
    }
    FOR(i,0,n*n) FOR(u,1,n) if(i>=p[u]) FOR(v,1,n) chkmax(f[u][i],f[v][i-p[u]]+w[u][v]);
    while(Q--) {
        int s,q,d;
        scanf("%d %d %d",&s,&q,&d);
        int x=lower_bound(f[s],f[s]+q+1,d)-f[s];
        if(x>q) puts("-1");
        else printf("%d\n",q-x);
    }
}

「BalkanOI 2018」Election

将 C 看成 \(1\)，将 T 看成 \(-1\)，问题变为删去若干 T 后使前缀和 \(pre_i\ge 0\)，后缀和 \(suf_i\ge 0\)。

考虑先操作使得前缀和合法，此时的操作是，对于每一个第一次出现的前缀和为 \(-i\)，删去这个字母，操作次数为 \(-\min pre_i\)，此时的 \(suf_i\) 会变化，设变化后的是 \(suf'_i\)，则代价同样是 \(-\min suf'i\)。

尝试求出 \(suf'_{\min}\)，考虑某一个位置 \(p\)，其没被加到的情况是 \(-\min_{i<p}pre_q\)，故其后缀和为 \(suf_p+\min_{i<p}pre_i-pre_{\min}\)。

故答案为 \(-\min_{p<q}(pre_p+suf_q)\)，可以转化为总和减去中间一段，中间一段是最大子段和，线段树维护即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

Code

const int N=5e5+5;
char ch[N];
int val[N];
struct node {int lma,rma,dat,sum;} tr[N*4];
node operator + (node a,node b) {
    node ret;
    ret.sum=a.sum+b.sum;
    ret.lma=max(a.lma,a.sum+b.lma);
    ret.rma=max(b.rma,b.sum+a.rma);
    ret.dat=max({a.dat,b.dat,a.rma+b.lma});
    return ret;
}
void build(int p,int l,int r) {
    if(l==r) {
        tr[p]={max(val[l],0),max(val[l],0),max(val[l],0),val[l]};
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(p*2,l,mid),build(p*2+1,mid+1,r);
    tr[p]=tr[p*2]+tr[p*2+1];
}
node query(int p,int l,int r,int x,int y) {
    if(x<=l&&r<=y) return tr[p];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x>mid) return query(p*2+1,mid+1,r,x,y);
    if(y<=mid) return query(p*2,l,mid,x,y);
    return query(p*2,l,mid,x,y)+query(p*2+1,mid+1,r,x,y);
}
int main() {
    int n=read();scanf("%s",ch+1);
    FOR(i,1,n) {
        if(ch[i]=='C') val[i]=1;
        else val[i]=-1;
    }
    build(1,1,n);
    int q=read();
    while(q--) {
        int l=read(),r=read();
        node ret=query(1,1,n,l,r);
        printf("%d\n",ret.dat-ret.sum);
    }
}