来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/knight-probability-in-chessboard

题目描述

在一个 n x n 的国际象棋棋盘上,一个骑士从单元格 (row, column) 开始,并尝试进行 k 次移动。行和列是 从 0 开始 的,所以左上单元格是 (0,0) ,右下单元格是 (n - 1, n - 1) 。

象棋骑士有8种可能的走法,如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格,然后在正交方向上是一个单元格。

每次骑士要移动时,它都会随机从8种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘),然后移动到那里。

骑士继续移动,直到它走了 k 步或离开了棋盘。

返回 骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率 。

示例 1:

输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0
输出: 0.0625
解释: 有两步(到(1,2),(2,1))可以让骑士留在棋盘上。
在每一个位置上,也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。
骑士留在棋盘上的总概率是0.0625。

示例 2:

输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0
输出: 1.00000

提示:

1 <= n <= 25
0 <= k <= 100
0 <= row, column <= n

解题思路

一道标准的动态规划题。

需要三重dp(i,j,k) 表示从(i,j) 出发经过k步后还在棋盘上的概率,dp的初始状态为dp(i,j,0)均为1,状态转移方程是

其中dx = {-1 -2 -2 -1 1 2 2 1}, dy ={-2 -1 1 2 2 1 -1 -2}

最终结果就在dp(row, column, k)中。

代码展示

class Solution {
public:
double knightProbability(int n, int k, int row, int column) {
vector<vector<vector<double>>> dp(n, vector<vector<double>>(n, vector<double>(k + 1, 1.0)));
int dx[8] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1};
int dy[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
for(int l = 1; l < k + 1; l++)
{
for(int i =0; i< n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
double dSum = 0;
for(int m = 0; m < 8; m ++)
{
int x = i + dx[m];
int y = j + dy[m];
if(x >= 0 && x < n && y >= 0 && y < n)
{
dSum += dp[x][y][l - 1];
}
}
dp[i][j][l] = dSum / 8;
}
}
}
return dp[row][column][k];
}
};

运行结果

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