kruskal证明

Kruskal算法证明

 

　　易证，对于一个无向加权连通图，总是存在一棵或以上的有限课生成树，而这些生成树中肯定存在至少一棵最小生成树。下面证明Kruskal算法构造的生成树是这些最小生成树中的一棵。

　　设T为Kruskal算法构造出的生成树，U是G的最小生成树。如果T==U那么证明结束。如果T != U，我们就需要证明T和U的构造代价相同。由于T != U，所以一定存在k > 0条边存在于T中，却不在U中。接下来，我们做k次变换，每次从T中取出一条不在U中的边放入U，然后删除U一条不在T中的边，最后使T和U的边集相同。每次变换中，把T中的一条边e加入U，同时删除U中的一条边f。e、f按如下规则选取：a). e是在T中却不在U中的边的最小的一条边；b). e加入U后，肯定构成唯一的一个环路，令f是这个环路中的一条边，但不在T中。f一定存在，因为T中没有环路。

 

　　这样的一次变换后，U仍然是一棵生成树。

　　我们假设e权值小于f，这样变换后U的代价一定小于变换前U的代价，而这和我们之前假设U是最小生成树矛盾，因此e权值不小于f。

　　再假设e权值大于f。由于f权值小于e，由Kruskal算法知，f在e之前从E中取出，但被舍弃了。一定是由于和权值小于等于f的边构成了环路。但是T中权值小于等于f（小于e）的边一定存在于U中，而f在U中却没有和它们构成环路，又推出矛盾。所以e权值不大于f。于是e权值等于f。

　　这样，每次变换后U的代价都不变，所以K次变换后，U和T的边集相同，且代价相同，这样就证明了T也是最小生成树。由证明过程可以知道，最小生成树可以不是唯一的。

 

 

 

无向图G的所有最小生成树的边权集合相同