机器学习：Python实现聚类算法(二)之AP算法

1.算法简介

AP(Affinity Propagation)通常被翻译为近邻传播算法或者亲和力传播算法，是在2007年的Science杂志上提出的一种新的聚类算法。AP算法的基本思想是将全部数据点都当作潜在的聚类中心(称之为exemplar)，然后数据点两两之间连线构成一个网络(相似度矩阵)，再通过网络中各条边的消息(responsibility和availability)传递计算出各样本的聚类中心。

2.相关概念(假如有数据点i和数据点j)

      

（图1）                                     （图2）                                       （图3）

1）相似度： 点j作为点i的聚类中心的能力，记为S(i,j)。一般使用负的欧式距离，所以S(i,j)越大，表示两个点距离越近，相似度也就越高。使用负的欧式距离，相似度是对称的，如果采用其他算法，相似度可能就不是对称的。

2）相似度矩阵：N个点之间两两计算相似度，这些相似度就组成了相似度矩阵。如图1所示的黄色区域，就是一个5*5的相似度矩阵(N=5)

3)  preference：指点i作为聚类中心的参考度(不能为0)，取值为S对角线的值(图1红色标注部分)，此值越大，最为聚类中心的可能性就越大。但是对角线的值为0，所以需要重新设置对角线的值，既可以根据实际情况设置不同的值，也可以设置成同一值。一般设置为S相似度值的中值。(有的说设置成S的最小值产生的聚类最少，但是在下面的算法中设置成中值产生的聚类是最少的)

4）Responsibility(吸引度):指点k适合作为数据点i的聚类中心的程度，记为r(i,k)。如图2红色箭头所示，表示点i给点k发送信息，是一个点i选点k的过程。

5）Availability(归属度):指点i选择点k作为其聚类中心的适合程度，记为a(i,k)。如图3红色箭头所示，表示点k给点i发送信息，是一个点k选diani的过程。

6）exemplar：指的是聚类中心。

7）r (i, k)加a (i, k)越大,则k点作为聚类中心的可能性就越大,并且i点隶属于以k点为聚类中心的聚类的可能性也越大

3.数学公式

1）吸引度迭代公式:

    （公式一）

说明1：R_t+1(i,k)表示新的R(i,k)，R_t(i,k)表示旧的R(i,k)，也许这样说更容易理解。其中λ是阻尼系数，取值[0.5,1)，用于算法的收敛

说明2：网上还有另外一种数学公式：

    （公式二）

sklearn官网的公式是：

       （公式三）

我试了这两种公式之后，发现还是公式一的聚类效果最好。同样的数据都采取S的中值作为参考度，我自己写的算法聚类中心是5个，sklearn提供的算法聚类中心是十三个，但是如果把参考度设置为p=-50，则我自己写的算法聚类中心很多，sklearn提供的聚类算法产生标准的3个聚类中心(因为数据是围绕三个中心点产生的)，目前还不清楚这个p=-50是怎么得到的。

2）归属度迭代公式

说明：A_t+1(i,k)表示新的A(i,k)，A_t(i,k)表示旧的A(i,k)。其中λ是阻尼系数，取值[0.5,1)，用于算法的收敛

4.详细的算法流程

1）设置实验数据。使用sklearn包中提供的函数，随机生成以[1, 1], [-1, -1], [1, -1]三个点为中心的150个数据。

def init_sample():
    ## 生成的测试数据的中心点
    centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]
    ##生成数据
    Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5,
                            random_state=0)
    #3数据的长度，即：数据点的个数
    dataLen = len(Xn)

    return Xn,dataLen

2）计算相似度矩阵，并且设置参考度，这里使用相似度矩阵的中值

def cal_simi(Xn):
    ##这个数据集的相似度矩阵，最终是二维数组
    simi = []
    for m in Xn:
        ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行
        temp = []
        for n in Xn:
            ##采用负的欧式距离计算相似度
            s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2)
            temp.append(s)
        simi.append(temp)

    ##设置参考度，即对角线的值，一般为最小值或者中值
    #p = np.min(simi)   ##11个中心
    #p = np.max(simi)  ##14个中心
    p = np.median(simi)  ##5个中心
    for i in range(dataLen):
        simi[i][i] = p
    return simi

3）计算吸引度矩阵，即R值。

如果有细心的同学会发现，在上述求R和求A的公式中，求R需要A，求A需要R，所以R或者A不是一开始就可以求解出的，需要先初始化，然后再更新。(我开始就陷入了这个误区，总觉得公式有问题，囧)

##初始化R矩阵、A矩阵
def init_R(dataLen):
    R = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)]
    return R

def init_A(dataLen):
    A = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)]
    return A

##迭代更新R矩阵
def iter_update_R(dataLen,R,A,simi):
    old_r = 0 ##更新前的某个r值
    lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛
    ##此循环更新R矩阵
    for i in range(dataLen):
        for k in range(dataLen):
            old_r = R[i][k]
            if i != k:
                max1 = A[i][0] + R[i][0]  ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if A[i][j] + R[i][j] > max1 :
                            max1 = A[i][j] + R[i][j]
                ##更新后的R[i][k]值
                R[i][k] = simi[i][k] - max1
                ##带入阻尼系数重新更新
                R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r
            else:
                max2 = simi[i][0] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if simi[i][j] > max2:
                            max2 = simi[i][j]
                ##更新后的R[i][k]值
                R[i][k] = simi[i][k] - max2
                ##带入阻尼系数重新更新
                R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r
    print("max_r:"+str(np.max(R)))
    #print(np.min(R))
    return R

4）计算归属度矩阵，即A值

##迭代更新A矩阵
def iter_update_A(dataLen,R,A):
    old_a = 0 ##更新前的某个a值
    lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛
    ##此循环更新A矩阵
    for i in range(dataLen):
        for k in range(dataLen):
            old_a = A[i][k]
            if i ==k :
                max3 = R[0][k] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if R[j][k] > 0:
                            max3 += R[j][k]
                        else :
                            max3 += 0
                A[i][k] = max3
                ##带入阻尼系数更新A值
                A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a
            else :
                max4 = R[0][k] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    ##上图公式中的i!=k 的求和部分
                    if j != k and j != i:
                        if R[j][k] > 0:
                            max4 += R[j][k]
                        else :
                            max4 += 0

                ##上图公式中的min部分
                if R[k][k] + max4 > 0:
                    A[i][k] = 0
                else :
                    A[i][k] = R[k][k] + max4

                ##带入阻尼系数更新A值
                A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a
    print("max_a:"+str(np.max(A)))
    #print(np.min(A))
    return A

5）迭代更新R值和A值。终止条件是聚类中心在一定程度上不再更新或者达到最大迭代次数

##计算聚类中心
def cal_cls_center(dataLen,simi,R,A):
    ##进行聚类，不断迭代直到预设的迭代次数或者判断comp_cnt次后聚类中心不再变化
    max_iter = 100    ##最大迭代次数
    curr_iter = 0     ##当前迭代次数
    max_comp = 30     ##最大比较次数
    curr_comp = 0     ##当前比较次数
    class_cen = []    ##聚类中心列表，存储的是数据点在Xn中的索引
    while True:
        ##计算R矩阵
        R = iter_update_R(dataLen,R,A,simi)
        ##计算A矩阵
        A = iter_update_A(dataLen,R,A)
        ##开始计算聚类中心
        for k in range(dataLen):
            if R[k][k] +A[k][k] > 0:
                if k not in class_cen:
                    class_cen.append(k)
                else:
                    curr_comp += 1
        curr_iter += 1
        print(curr_iter)
        if curr_iter >= max_iter or curr_comp > max_comp :
            break
    return class_cen

6）根据求出的聚类中心，对数据进行分类

这个步骤产生的是一个归类列表，列表中的每个数字对应着样本数据中对应位置的数据的分类

 ##根据聚类中心划分数据
    c_list = []
    for m in Xn:
        temp = []
        for j in class_cen:
            n = Xn[j]
            d = -np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2)
            temp.append(d)
        ##按照是第几个数字作为聚类中心进行分类标识
        c = class_cen[temp.index(np.max(temp))]
        c_list.append(c)

7）完整代码及效果图

from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
'''
第一步：生成测试数据
    1.生成实际中心为centers的测试样本300个，
    2.Xn是包含150个(x,y)点的二维数组
    3.labels_true为其对应的真是类别标签
'''

def init_sample():
    ## 生成的测试数据的中心点
    centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]
    ##生成数据
    Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5,
                            random_state=0)
    #3数据的长度，即：数据点的个数
    dataLen = len(Xn)

    return Xn,dataLen

'''
第二步：计算相似度矩阵
'''
def cal_simi(Xn):
    ##这个数据集的相似度矩阵，最终是二维数组
    simi = []
    for m in Xn:
        ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行
        temp = []
        for n in Xn:
            ##采用负的欧式距离计算相似度
            s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2)
            temp.append(s)
        simi.append(temp)

    ##设置参考度，即对角线的值，一般为最小值或者中值
    #p = np.min(simi)   ##11个中心
    #p = np.max(simi)  ##14个中心
    p = np.median(simi)  ##5个中心
    for i in range(dataLen):
        simi[i][i] = p
    return simi

'''
第三步：计算吸引度矩阵，即R
       公式1：r(n+1) =s(n)-(s(n)+a(n))-->简化写法，具体参见上图公式
       公式2：r(n+1)=(1-λ)*r(n+1)+λ*r(n)
'''

##初始化R矩阵、A矩阵
def init_R(dataLen):
    R = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)]
    return R

def init_A(dataLen):
    A = [[0]*dataLen for j in range(dataLen)]
    return A

##迭代更新R矩阵
def iter_update_R(dataLen,R,A,simi):
    old_r = 0 ##更新前的某个r值
    lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛
    ##此循环更新R矩阵
    for i in range(dataLen):
        for k in range(dataLen):
            old_r = R[i][k]
            if i != k:
                max1 = A[i][0] + R[i][0]  ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if A[i][j] + R[i][j] > max1 :
                            max1 = A[i][j] + R[i][j]
                ##更新后的R[i][k]值
                R[i][k] = simi[i][k] - max1
                ##带入阻尼系数重新更新
                R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r
            else:
                max2 = simi[i][0] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if simi[i][j] > max2:
                            max2 = simi[i][j]
                ##更新后的R[i][k]值
                R[i][k] = simi[i][k] - max2
                ##带入阻尼系数重新更新
                R[i][k] = (1-lam)*R[i][k] +lam*old_r
    print("max_r:"+str(np.max(R)))
    #print(np.min(R))
    return R
'''
    第四步：计算归属度矩阵，即A
'''
##迭代更新A矩阵
def iter_update_A(dataLen,R,A):
    old_a = 0 ##更新前的某个a值
    lam = 0.5 ##阻尼系数,用于算法收敛
    ##此循环更新A矩阵
    for i in range(dataLen):
        for k in range(dataLen):
            old_a = A[i][k]
            if i ==k :
                max3 = R[0][k] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    if j != k:
                        if R[j][k] > 0:
                            max3 += R[j][k]
                        else :
                            max3 += 0
                A[i][k] = max3
                ##带入阻尼系数更新A值
                A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a
            else :
                max4 = R[0][k] ##注意初始值的设置
                for j in range(dataLen):
                    ##上图公式中的i!=k 的求和部分
                    if j != k and j != i:
                        if R[j][k] > 0:
                            max4 += R[j][k]
                        else :
                            max4 += 0

                ##上图公式中的min部分
                if R[k][k] + max4 > 0:
                    A[i][k] = 0
                else :
                    A[i][k] = R[k][k] + max4

                ##带入阻尼系数更新A值
                A[i][k] = (1-lam)*A[i][k] +lam*old_a
    print("max_a:"+str(np.max(A)))
    #print(np.min(A))
    return A

'''
   第5步：计算聚类中心
'''

##计算聚类中心
def cal_cls_center(dataLen,simi,R,A):
    ##进行聚类，不断迭代直到预设的迭代次数或者判断comp_cnt次后聚类中心不再变化
    max_iter = 100    ##最大迭代次数
    curr_iter = 0     ##当前迭代次数
    max_comp = 30     ##最大比较次数
    curr_comp = 0     ##当前比较次数
    class_cen = []    ##聚类中心列表，存储的是数据点在Xn中的索引
    while True:
        ##计算R矩阵
        R = iter_update_R(dataLen,R,A,simi)
        ##计算A矩阵
        A = iter_update_A(dataLen,R,A)
        ##开始计算聚类中心
        for k in range(dataLen):
            if R[k][k] +A[k][k] > 0:
                if k not in class_cen:
                    class_cen.append(k)
                else:
                    curr_comp += 1
        curr_iter += 1
        print(curr_iter)
        if curr_iter >= max_iter or curr_comp > max_comp :
            break
    return class_cen

if __name__=='__main__':
    ##初始化数据
    Xn,dataLen = init_sample()
    ##初始化R、A矩阵
    R = init_R(dataLen)
    A = init_A(dataLen)
    ##计算相似度
    simi = cal_simi(Xn)
    ##输出聚类中心
    class_cen = cal_cls_center(dataLen,simi,R,A)
    #for i in class_cen:
    #    print(str(i)+":"+str(Xn[i]))
    #print(class_cen)

    ##根据聚类中心划分数据
    c_list = []
    for m in Xn:
        temp = []
        for j in class_cen:
            n = Xn[j]
            d = -np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2)
            temp.append(d)
        ##按照是第几个数字作为聚类中心进行分类标识
        c = class_cen[temp.index(np.max(temp))]
        c_list.append(c)
    ##画图
    colors = ['red','blue','black','green','yellow']
    plt.figure(figsize=(8,6))
    plt.xlim([-3,3])
    plt.ylim([-3,3])
    for i in range(dataLen):
        d1 = Xn[i]
        d2 = Xn[c_list[i]]
        c = class_cen.index(c_list[i])
        plt.plot([d2[0],d1[0]],[d2[1],d1[1]],color=colors[c],linewidth=1)
        #if i == c_list[i] :
        #    plt.scatter(d1[0],d1[1],color=colors[c],linewidth=3)
        #else :
        #    plt.scatter(d1[0],d1[1],color=colors[c],linewidth=1)
    plt.show()

迭代11次出结果：

补充说明：这个算法重点在讲解实现过程，执行效率不是特别高，有优化的空间。以后我会补充进来

5.sklearn包中的AP算法

1）函数：sklearn.cluster.AffinityPropagation

2）主要参数：

damping : 阻尼系数，取值[0.5,1)

convergence_iter ：比较多少次聚类中心不变之后停止迭代，默认15

max_iter ：最大迭代次数

preference :参考度

3）主要属性

cluster_centers_indices_ : 存放聚类中心的数组

labels_ :存放每个点的分类的数组

n_iter_ : 迭代次数

4）示例

preference(即p值)取不同值时的聚类中心的数目在代码中注明了。

from sklearn.cluster import AffinityPropagation
from sklearn import metrics
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import numpy as np

## 生成的测试数据的中心点
centers = [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]
##生成数据
Xn, labels_true = make_blobs(n_samples=150, centers=centers, cluster_std=0.5,
                            random_state=0)

simi = []
for m in Xn:
    ##每个数字与所有数字的相似度列表，即矩阵中的一行
    temp = []
    for n in Xn:
         ##采用负的欧式距离计算相似度
        s =-np.sqrt((m[0]-n[0])**2 + (m[1]-n[1])**2)
        temp.append(s)
    simi.append(temp)

p=-50   ##3个中心
#p = np.min(simi)  ##9个中心，
#p = np.median(simi)  ##13个中心    

ap = AffinityPropagation(damping=0.5,max_iter=500,convergence_iter=30,
                         preference=p).fit(Xn)
cluster_centers_indices = ap.cluster_centers_indices_

for idx in cluster_centers_indices:
    print(Xn[idx])

 6.AP算法的优点

1） 不需要制定最终聚类族的个数

2） 已有的数据点作为最终的聚类中心，而不是新生成一个族中心。

3）模型对数据的初始值不敏感。

    4）对初始相似度矩阵数据的对称性没有要求。 

    5）.相比与k-centers聚类方法，其结果的平方差误差较小。

7.AP算法的不足

1）AP算法需要事先计算每对数据对象之间的相似度，如果数据对象太多的话，内存放不下，若存在数据库，频繁访问数据库也需要时间。

    2）AP算法的时间复杂度较高，一次迭代大概O(N³)

    3）聚类的好坏受到参考度和阻尼系数的影响。