给定一组非负整数,初始时处于数组的第一位下标 0 的位置,数组的每个元素代表那个位置可以跳跃的最大长度。判断你是否能够到达数组的最后一位下标。

e.g.

A = [2, 3, 1, 1, 4],返回 true。

A = [3, 2, 1, 0, 4],返回 false。

我的想法是递归

方法一:

 bool canJump(vector<int>& nums) {
return jump(nums, );
} bool jump(vector<int> &nums, int m) {
int last = nums.size() - ;
if (m == last) return true;
int p = min(last, m + nums[m]);
for (int i = p; i > m; i--) { // 若不定义 p,i 初始为 m + nums[m] 并不会造成数组越界,但变量 p 减少了不必要的递归
if (jump(nums, i))
return true;
}
return false;
}

答案称这种方法是递归回溯法,时间复杂度为 O(2n),数据量很大时会超时。

答案提供了多种解法

方法二:

自顶向下动态规划法(优化的回溯法)

作如下定义:如果从数组中某一位置作为起始点,最终能够到达最后一个下标处,则把这个位置称为 “ Good Index ”,否则成为 “ Bad Index ”。因此这个跳跃问题就变成了判断 0 下标是不是一个 “ Good Index ”。

用一个 memo 数组存储原数组每个下标是好的还是坏的,memo 数组元素的值是 GOOD、BAD、UNKNOWN 之一。

e.g. 对于 nums = [2, 4, 2, 1, 0, 2, 0],

Index 0 1 2 3 4 5 6
nums 2 4 2 1 0 2 0
memo G G B B B G G

步骤:

  1. 初始时,memo 中所有元素都是 UNKNOWN,除了最后一个元素是 GOOD。
  2. 将回溯法中递归的第一步改为 “ 判断当前下标是否 UNKNOWN ”
    如果是 KNOWN,根据其值是 GOOD / BAD 返回 true / false;
    否则继续执行回溯。
  3. 一旦知道当前下标是好的还是坏的,将相应的值存在 memo 数组中。

C++实现:

 enum Index {
GOOD, BAD, UNKNOWN
}; vector<Index> memo; bool canJump(vector<int>& nums) {
memo.reserve(nums.size());
for (int i = ; i < nums.size() - ; i++) {
memo[i] = UNKNOWN;
}
memo[nums.size() - ] = GOOD;
return jump(nums, );
} bool jump(vector<int> &nums, int m) {
if (memo[m] != UNKNOWN)
return memo[m] == GOOD ? true : false;
int p = min((int)nums.size() - , m + nums[m]);
for (int i = p; i > m; i--) {
if (jump(nums, i)) {
memo[m] = GOOD;
return true;
}
}
memo[m] = BAD;
return false;
}

对于数组中每个位置 i,我们在其右边 nums[i] 个元素中寻找 “ Good Index ”,因此这种方法的时间复杂度是 O(n2)。

方法三:

自底向上动态规划法

将自顶向下 DP 的递归消除后就变成了自底向上 DP,这样就不会造成方法栈的过度开销。消除递归的方法是从数组最右边(倒数第二位)往左不断地递推 memo 数组的值。

C++实现:

 enum Index {
GOOD, BAD, UNKNOWN
}; vector<Index> memo; bool canJump(vector<int>& nums) {
memo.reserve(nums.size());
for (int i = ; i < nums.size() - ; i++) {
memo[i] = UNKNOWN;
}
memo[nums.size() - ] = GOOD; for (int i = nums.size() - ; i >= ; i--) {
int p = min((int)nums.size() - , i + nums[i]);
for (int j = p; j > i; j--) {
if (memo[j] == GOOD) {
memo[i] = GOOD;
break;
}
}
} return memo[] == GOOD;
}

由于两种 DP 的原理相同,这种方法的时间复杂度也是 O(n2)。由于没有使用递归,终于 Accepted 了,但效率极低。

最优方法:

贪心法

自底向上 DP 中,从后向前递推 memo 数组时,对于每一个下标 i,我们想知道是否能从这个位置到达一个 “ Good Index ”,而当我们找到了从 i 下标能到达的下标范围 ( i, p ] 内最右边的仅仅一个 “ Good Index ”(也可以选择最左边的一个)就把 i 设为 “ Good Index ”。因此,可以把从后向前追踪的一系列 “ Good Index ” 只用一个单独的变量存储,而不是记录在 memo 数组中。

C++实现:

 bool canJump(vector<int>& nums) {
int last = nums.size() - ;
for (int i = last; i >= ; i--) {
if (i + nums[i] >= last)
last = i;
}
return last == ;
}

也可以从前向后

 bool canJump(vector<int>& nums) {
int n = nums.size(), reach = ; // reach 表示从 0 能到达的最远的下标
for (int i = ; i < n && i <= reach; i++) {
reach = max(reach, i + nums[i]);
if (reach >= n - )
return true;
}
return false;
}

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