CF321E Ciel and Gondolas

题意：给定序列，将其分成k段。如果[l, r]在一段，那么每对不相同的i,j∈[l, r]都会有a_i,j的代价。求最小总代价。

解：提供两种方案。第三种去bzoj贞鱼的n²算法。

决策单调性优化：

对于两个转移点j1 < j2，若在某个点i上j2更优，则i后面的j2全部更优。这就是决策单调性。

有两种写法。一种是维护决策栈(???)，我自己YY了一个线段树写法WA飞了。

还有一种是分治。对于一段待转移的区间[l, r]，它们的最优转移来自于[L, R]

则对于mid = (l + ｒ) >>１，我们扫一遍[L, R]，得到mid的最优转移p

然后分治下去。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>

 const int N = , K = , INF = 0x3f3f3f3f;

 inline void read(int &x) {
     x = ;
     char c = getchar();
     while(c < '' || c > '') {
         c = getchar();
     }
     while(c >= '' && c <= '') {
         x = (x << ) + (x << ) + c - ;
         c = getchar();
     }
     return;
 }

 int f[N][K], n, k, a[N][N];
 int tag[N], turn;

 inline void exmin(int &a, int b) {
     a > b ? a = b : ;
     return;
 }

 void solve(int L, int R, int l, int r) {
     if(R < L || r < l) return;
     //printf("solve %d %d -> %d %d \n", L, R, l, r);
     if(L == R) {
         for(int i = l; i <= r; i++) {
             f[i][turn] = f[R][turn - ] + a[i][R + ];
             //printf("f %d %d = %d + %d \n", i, turn, f[R][turn - 1], a[i][R + 1]);
         }
         return;
     }
     int mid = (l + r) >> , p = L;
     for(int i = L; i < mid && i <= R; i++) {
         if(f[mid][turn] > f[i][turn - ] + a[mid][i + ]) {
             p = i;
             f[mid][turn] = f[i][turn - ] + a[mid][i + ];
             //printf("f %d %d = %d from %d \n", mid, turn, f[mid][turn], p);
         }
     }
     solve(L, p, l, mid - );
     solve(p, R, mid + , r);
     return;
 }

 int main() {

     //freopen("in.in", "r", stdin);
     //freopen("my.out", "w", stdout);

     read(n); read(k);
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = ; j <= n; j++) {
             read(a[i][j]);
             if(i < j) a[i][j] = ;
         }
     }
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = n; j >= ; j--) {
             a[i][j] += a[i][j + ];
         }
     }
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = n; j >= ; j--) {
             a[i][j] += a[i - ][j];
         }
     }
     memset(f, 0x3f, sizeof(f));
     f[][] = ;
     for(int j = ; j <= k; j++) {
         turn = j;
         //printf("turn = %d \n", j);
         solve(, n - , , n);
         /*for(int i = 1; i <= n; i++) {
             printf("%d ", f[i][turn]);
         }
         printf("\n");*/
     }

     printf("%d\n", f[n][k]);
     return ;
 }

决策单调性优化AC代码

带权二分：我们假装那个函数是凸的。

然后按照套路带权二分一波。

记得一定要让k的变化和D的变化同步，这一点可以通过调整±D来实现。

之后尽量让k小，l端mid，r端要mid - 1。

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>

 typedef long long LL;
 const int N = ;
 LL INF = 1e17;

 inline void read(LL &x) {
     x = ;
     char c = getchar();
     while(c < '' || c > '') {
         c = getchar();
     }
     while(c >= '' && c <= '') {
         x = (x << ) + (x << ) + c - ;
         c = getchar();
     }
     return;
 }

 int n, k, g[N];
 LL f[N], a[N][N], D, ans;

 inline int check(LL mid) {
     D = mid;
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         f[i] = INF;
         for(register int j = ; j < i; j++) {
             if(f[i] > f[j] + a[i][j + ] - D) {
                 f[i] = f[j] + a[i][j + ] - D;
                 g[i] = g[j] + ;
             }
             else if(f[i] == f[j] + a[i][j + ] - D) {
                 g[i] = std::min(g[i], g[j] + );
             }
         }
     }
     ans = f[n];
     return g[n];
 }

 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &k);
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = ; j <= n; j++) {
             read(a[i][j]);
             if(i < j) a[i][j] = ;
         }
     }
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = n; j >= ; j--) {
             a[i][j] += a[i][j + ];
         }
     }
     for(register int i = ; i <= n; i++) {
         for(register int j = n; j >= ; j--) {
             a[i][j] += a[i - ][j];
         }
     }
     //

     LL l = -a[n][], r = a[n][];
     while(l < r) {
         LL mid = (l + r + ) >> ;
         int t = check(mid);
         if(t == k) {
             printf("%lld\n", ans + k * mid);
             return ;
         }
         if(t < k) l = mid;
         else r = mid - ;
     }
     check(r);
     printf("%lld\n", ans + k * r);
     return ;
 }

带权二分AC代码