斜率优化DP 学习笔记
斜率优化 DP
适用情况
适用于求解最优解(最大、最小)问题。
上凸壳与下凸壳
求解步骤
对于任意状态转义方程,设 \(A_i\),\(B_i\),使状态转移方程转化为
- \(f_i = \min(f_j + (A_i - B_j) ^ 2)\)
当 \(i\) 使从 \(j\) 转移来时,丢掉 \(\min\)
- \(f_i = f_j + {A_i} ^ 2 + {B_j} ^ 2 - 2 \times A_i \times B_j\)
将仅和 \(j\) 有关的放在左边,其他的放在右边
- \(f_j + {B_j} ^ 2 = 2 \times A_i \times B_j + f_i - {A_i} ^ 2\)
仅和 \(j\) 有关的,是已经求出来的,看做 \(y\);仅和 \(i\) 有关的,再附加上常数,是需要求的,看做纵截距;剩下的与 \(i\) 和 \(j\) 都有关,将其中仅与 \(j\) 有关的因式看做 \(x\),剩余的因式看做斜率
- \(y = f_j + {B_j} ^ 2\)
- \(k = 2 \times A_i\)
- \(x = B_j\)
- \(b = f_i - {A_i} ^ 2\)
当 \(x\) 单调递增时:
- 若 \(k\) 单调递增或递减,可以使用单调栈维护
- 若 \(k\) 无单调性,可以在数组内二分斜率,找到与目标相切的点
已知两个点 \(\text{A}(x_1, y_1)\),\(\text{B}(x_2, y_2)\),则直线 \(\text{AB}\) 斜率为 \(\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}\)
- 小问题:当 \(x\) 非单调递增呢?我还没学QwQ
题单
可以参考这个:https://www.luogu.com.cn/training/5352
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