4.3 等比数列及其前n项和

\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【【高分突破系列】 高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义！

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选择性必修第二册同步提高，难度3颗星！

模块导图

知识剖析

等比数列的定义

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为\(q\).

代数形式：\(\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\)(\(q\)是常数，\(n≥2\)) 或\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)(\(q\)是常数，\(n∈ N^*\))

\({\color{Red}{Eg}}\) \(\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=2(n \geq 2)\)\(\Rightarrow\left\{a_{n}\right\}\)是公比为\(2\)的等比数列；

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=-3\)\(\Rightarrow\left\{a_{n}\right\}\)是公比为\(-3\)的等比数列；

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=4 n\)\(\Rightarrow\left\{a_{n}\right\}\)不是等比数列；

\({\color{Red}{解释}}\)

所谓常数就是与\(n\)无关；等比数列中\(a_n≠0\),\(q≠0\)；

偶数项的正负、奇数项的正负相同.

\({\color{Red}{Eg}}\) 若\(-1\),\(b_1\),\(b_2\),\(b_3\),\(-4\)成等比数列，则\(b_2=\)\(\underline{\quad \quad}\).

解：\(b_2^2=-1×(-4)=4⇒b_2=±2\)，

而\(b_2=-1\cdot q^2<0\)，故\(b_2=-2\).

\({\color{Red}{(b_2与-1,-4均是奇数项，符号相同)}}\)

等比中项

若\(a ,b ,c\)成等比数列，则\(b\)称\(a\)与\(c\)的等差中项,则\(b^2=ac\)；

证明一个数列是等比数列的方法

① 定义法：\(\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}=q\)(\(q\)是常数，\(n≥2\))，则\(\{a_n\}\)是等比数列；

② 中项法：\(a_{n+1}^{2}=a_{n} a_{n+2}\)\((a_n≠ 0 ,n∈ N^*)\)，则\(\{a_n\}\)是等比数列；

③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如\(a_n=k\cdot q^n\)(\(k ,q\)是不为\(0\)常数)，则数列\(\{a_n\}\)是等比数列；

④ 前\(n\)项和法：若数列的前\(n\)项和是形如\(S_n=k\cdot q^n-k\)(\(k ,q\)是常数且\(k≠0\)，\(q≠0\)，\(1\))，则数列\(\{a_n\}\)是等比数列.

通项公式

等比数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，则\(a_n=a_1 q^{n-1}\)(由定义与累乘法可得)

前\(n\)项和

等比数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，则其前\(n\)项和为

\[S_{n}= \begin{cases}n a_{1} & (q=1) \\ \dfrac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q} & (q \neq 1)\end{cases}
\]

(由错位相减法可证)

\({\color{Red}{注}}\)使用时注意公比是否等于\(1\)，若不确定，使用时需要分类讨论.

基本性质

(其中\(m ,n ,p ,t∈N^*\))

设\(\{a_n\}\)是首项为\(a_1\), 公比为\(q\)的等比数列，那么

\((1)\)若\(m+n=p+t\), 则\(a_m a_n=a_p a_t\)；

\((2)\)\(a_n=a_m q^{n-m}\)；

\((3)\)\(q^{n-m}=\dfrac{a_{n}}{a_{m}}\)；

\((4)\)数列\(\left\{\lambda a_{n}\right\}\)(\(λ\)是不为零的常数)仍是公比为\(q\)的等比数列；若数列\(\{b_n\}\)是公比为\(t\)的等比数列，则数列\(\left\{a_{n} b_{n}\right\}\)是公比为\(q\cdot t\)的等比数列；

\((5)\)下标成等差数列且公差为\(m\)的项\(a_k\),\(a_{k+m}\),\(a_{k+2 m}\),…(\(k ,m∈N^*\))组成公比为\(q^m\)的等比数列；

\((6)\)若\(q≠-1\),则\(S_n\),\(S_{2n}-S_n\),\(S_{3n}-S_{2n}\),…成等比数列；

(\(∵q=-1\)，\(n\)是偶数时，\(S_n=0\))

经典例题

【题型一】等比数列的判断与证明

【典题1】【多选题】已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A．\(\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(\left\{\log _{2} a_{n}\right\}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\left\{a_{n} a_{n+1}\right\}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(\left\{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\right\}\)

【解析】由题意，可设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q(q≠0)\)，则\(a_n=a_1 q^{n-1}\)．

对于\(A\)：\(\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{1}{a_{1} q^{n-1}}=\dfrac{1}{a_{1}}\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n-1}\)．

(等比数列通项公式形如指数型\(a_n=A\cdot B^n\))

\(∴\)数列\(\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}\)是一个以\(\dfrac{1}{a_{1}}\)为首项，\(\dfrac{1}{q}\)为公比的等比数列；

对于\(B\)：若\(a_n>0\)，则\(\log _{2} a_{n}=\log _{2}\left(a_{1} q^{n-1}\right)\)\(=\log _{2} a_{1}+(n-1) \log _{2} q\)

\(∴\)数列\(\left\{\log _{2} a_{n}\right\}\)是一个以\(\log _{2} a_{1}\)为首项，\(\log _{2} q\)为公差的等差数列；

对于\(C\)：\(\because \dfrac{a_{n+1} \cdot a_{n+2}}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{a_{1} \cdot q^{n+1}}{a_{1} \cdot q^{n-1}}=q^{2}\)

\(∴\)数列\(\left\{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\right\}\)是一个以\(q^2\)为公比的等比数列

对于\(D\)：\(\because \dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}}{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}}\)\(=\dfrac{q\left(a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\right)}{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}}=q\)

\(∴\)数列\(\left\{a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}\right\}\)是一个以\(q\)为公比的等比数列．

故选：\(ACD\)．

【点拨】

① 判定等比数列常用定义法：\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)(\(q\)是常数，\(n∈ N^*\))\(⇒\{a_n\}\)是等比数列；

② 等比数列通项公式形如指数型\(a_n=k\cdot q^n\)，在选择填空题运用.

【典题2】已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_{n+1}=S_{n}+n+1\)\(\left(n \in N^{*}\right)\),\(a_1=1\)．

求证\(\left\{a_{n}+1\right\}\)为等比数列，并求\(a_n\).

【解析】证明：\(\because a_{n+1}=S_{n}+n+1\left(n \in N^{*}\right)\)，

\({\color{Red}{(遇到a_n与S_n的等式可想到a_{n}=\left\{\begin{array}{cc}
S_{1}, & n=1 \\
S_{n}-S_{n-1}, & n \geq 2
\end{array}\right. )}}\)

当\(n≥2\)时，\(a_{n}=S_{n-1}+n\)

两式相减得\(a_{n+1}-a_{n}=S_{n}+n+1-\left(S_{n-1}+n\right)=a_{n}+1\)

\(\therefore a_{n+1}+1=2 a_{n}+2=2\)\(\left(a_{n}+1\right)(n \geq 2)\)，

\({\color{Red}{(不要漏了大前提：n≥2，要证明\{a_{n}+1\}为等比数列，还要判断a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)当n=1时也成立)}}\)

而对于\(a_{n+1}=S_{n}+n+1\left(n \in N^{*}\right)\)中

当\(n=1\)时有\(a_2=S_1+2=a_1+2=3\)，

则\(a_2=3\),\(a_1=1\)满足\(a_{n+1}+1=2\left(a_{n}+1\right)\)，

\(\therefore a_{n+1}+1=2\left(a_{n}+1\right)\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，

\(\therefore\left\{a_{n}+1\right\}\)为等比数列，首项为\(a_1+1=2\)，公比为\(2\)的等比数列，

\(\therefore a_{n}+1=2 \cdot 2^{n-1}=2^{n}\),

\(∴a_n=2^n-1\).

【点拨】数列问题中，特别要注意\(n\)的取值范围，比如\(n≥2\)、\(n∈N^*\)，要确定好.

【典题3】设数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1\)为常数，且\(a_{n}=3^{n-1}-2 a_{n-1}\)\((n≥2)\)．

(1) 判断数列\(\left\{a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}\right\}\)是否为等比数列，请说明理由；

(2)\(S_n\)是数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项的和，若\(\left\{S_{n}\right\}\)是递增数列，求\(a_1\)的取值范围．

【解析】(1)当\(n≥2\)时，\(a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}=3^{n-1}-2 a_{n-1}-\dfrac{3^{n}}{5}\)\(=2 \cdot \dfrac{3^{n-1}}{5}-2 a_{n-1}=-2\left(a_{n-1}-\dfrac{3^{n-1}}{5}\right)\)

\({\color{Red}{(定义法证明等比数列，要注意首项a_{1}-\dfrac{3}{5}是否等于0)}}\)

① 当\(a_{1}-\dfrac{3}{5} \neq 0\)，即\(a_{1} \neq \dfrac{3}{5}\)时，\(\dfrac{a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}}{a_{n-1}-\dfrac{3^{n-1}}{5}}=-2\)，

\(\therefore a_{1} \neq \dfrac{3}{5}\)时，\(\left\{a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}\right\}\)为等比数列，公比为\(－2\)．

② 当\(a_{1}=\dfrac{3}{5}\)，即\(a_{1}=\dfrac{3}{5}\)时，\(a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}=0\)，数列\(\left\{a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}\right\}\)不是等比数列．

(2) ① 当\(a_{1}=\dfrac{3}{5}\)时，\(a_{n}=\dfrac{1}{5} \cdot 3^{n}\)，为单调递增数列，满足条件．

② 当\(a_{1} \neq \dfrac{3}{5}\)时，由(1)可得：\(a_{n}-\dfrac{3^{n}}{5}=\left(a_{1}-\dfrac{3}{5}\right)(-2)^{n-1}\)，

若\(\left\{S_{n}\right\}\)是递增数列，

则\(S_{n}-S_{n-1}>0(n \geq 2)\)，即\(a_n>0(n≥2)\)，

\(\therefore a_{n}=\left(a_{1}-\dfrac{3}{5}\right)(-2)^{n-1}+\dfrac{3^{n}}{5}>0\)，

\({\color{Red}{(问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到(-2)^{n-1}想到分n奇偶数讨论)}}\)

当\(n\)为偶数，则\(-2^{n-1}\left(a_{1}-\dfrac{3}{5}\right)+\dfrac{3^{n}}{5}>0 \Rightarrow a_{1}<\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}+\dfrac{3}{5}\)，

\(\therefore a_{1}<\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}\)，

\({\color{Red}{(f(n)=\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}+\dfrac{3}{5}是增数列，f_{\min }=f(2))}}\)

当\(n\)为奇数，则\(2^{n-1}\left(a_{1}-\dfrac{3}{5}\right)+\dfrac{3^{n}}{5}>0\)\(\Rightarrow a_{1}>-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}+\dfrac{3}{5}\)，

故\(\text { 籹 } a_{1}>-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}+\dfrac{3}{5}=-\dfrac{3}{4}\)，

\({\color{Red}{(f(n)=-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}+\dfrac{3}{5}是减数列，f_{\max }=f(3))}}\)

\(\therefore-\dfrac{3}{4}<a_{1}<\dfrac{3}{2}\)．且\(a_{1} \neq \dfrac{3}{5}\)．

综上可得：\(-\dfrac{3}{4}<a_{1}<\dfrac{3}{2}\)．

【点拨】若\(a_{n+1}=2 a_{n}\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，不能得到\(\{a_n\}\)是等比数列，一定要强调\(a_1≠0\)才行.

巩固练习

1(★)根据下列通项能判断数列为等比数列的是(　　)

A．\(a_n=n\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(a_{n}=\sqrt{n}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(a_{n}=2^{-n}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(a_{n}=\log _{2} n\)

2(★★)已知数列\(\{a_n\}\)是等比数列，则下列数列中：①\(\left\{a_{n}^{3}\right\}\)；②\(\left\{2^{a_{n}}\right\}\)；③\(\left\{\dfrac{1}{2 a_{n}}\right\}\)，等比数列的个数是(　　)

A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(3\)个

3(★★)在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=4 a_{n}-3 n+1\),\(n∈N^*\),证明：数列\(\left\{a_{n}-n\right\}\)是等比数列.

4(★★★)设\(S_n\)为数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，已知\(a_3=7\),\(a_{n}=2 a_{n-1}+a_{2}-2\)\((n \geq 2)\)．

(1)证明：\(\left\{a_{n}+1\right\}\)为等比数列；

(2)求\(\{a_n\}\)的通项公式，并判断\(n\),\(a_n\),\(S_n\)是否成等差数列？

答案

1.\(C\)

2.\(C\)

3. 提示：定义法证明

4.\((1)\)提示：定义法证明

\((2) a_n=2^n-1\)，\(n\),\(a_n\),\(S_n\)成等差数列

【题型二】等比数列的基本运算

【典题1】若\(S_n\)是等比数列\(\{a_n\}\)的前n项和，\(S_3\),\(S_9\),\(S_6\)成等差数列，且\(a_7=2\)，则\(a_4+a_{10}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

【解析】由题意可得：等比数列\(\{a_n\}\)的公比\(q≠1\)，

\({\color{Red}{(利用等比数列的前n项和公式S_{n}= \begin{cases}n a_{1} & (q=1) \\ \dfrac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q} & (q \neq 1)\end{cases}，特别要注意公比q是否等于1)}}\)

\(∵S_3\),\(S_9\),\(S_6\)成等差数列，\(∴2S_9=S_6+S_3，\)

\(\therefore 2 \times \dfrac{a_{1}\left(q^{9}-1\right)}{q-1}=\dfrac{a_{1}\left(q^{6}-1\right)}{q-1}+\dfrac{a_{1}\left(q^{3}-1\right)}{q-1}\)\(\Rightarrow 2 q^{6}-q^{3}-1=0 \Rightarrow\left(2 q^{3}+1\right)\left(q^{3}-1\right)=0\)，

\(\therefore q^{3}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\because a_{7}=2 \quad \therefore a_{1} q^{6}=2 \Rightarrow a_{1}=8\)，

则\(a_4+a_{10}=a_1 q^3+a_1 q^9= -4-1=-5\)．

【点拨】

① 与等差数列差不多，首项\(a_1\)和公比\(q\)是等比数列的基本量，通项公式\(a_{n}=a_{1} q^{n-1}\)和前\(n\)项和公式\(S_{n}= \begin{cases}n a_{1} & (q=1) \\ \dfrac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q} & (q \neq 1)\end{cases}\)均与基本量有关；

②等比数列中\(a_1\),\(q\),\(a_n\),\(S_n\),\(n\)五个量，一般可以“知二求三”，通过条件得到\(a_1\)与\(q\)的方程(组)是关键.

【典题2】【多选题】正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和是\(S_n\)，已知\(S_3=a_2+10a_1\),\(a_4=3\)．下列说法正确的是(　　)

A．\(a_1=9\)

B．\(\{a_n\}\)是递增数列

C．\(\left\{S_{n}+\dfrac{1}{18}\right\}\)为等比数列

D．\(\left\{\log _{3} a_{n}\right\}\)是等比数列

【解析】\(∵S_3=a_2+10a_1\),\(a_4=3\)．

设首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，

则\(\left\{\begin{array}{c}
a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{2}+10 a_{1} \\
a_{1} q^{3}=3
\end{array}\right.\)，

解得\(\left\{\begin{array}{l}
a_{1}=\dfrac{1}{9} \\
q=3
\end{array}\right.\)，

\({\color{Red}{(这里S_3=a_1+a_2+a_3，没用等比数列前n项和公式，运算简单些)}}\)

所以\(a_{n}=\dfrac{1}{9} \cdot 3^{n-1}=3^{n-3}\)，故\(A\)错误，\(B\)正确；

则\(S_{n}=\dfrac{\dfrac{1}{9}\left(3^{n}-1\right)}{3-1}=\dfrac{1}{18} \cdot 3^{n}-\dfrac{1}{18}\)，

由于\(S_n\)的关系式符合\(kq^n－k\)的形式，故\(C\)正确．

由于\(a_{n}=3^{n-3}\)，

所以\(\log _{3} a_{n}=\log _{3} 3^{n-3}=n-3\)，

所以该数列为等差数列，故\(D\)错误．

故选：\(BC\)．

【点拨】

① 在等比数列中遇到\(S_n\)若其下标较小，用\(S_n=a_1+a_2+⋯+a_n\)会比等比数列的前\(n\)项和公式更好些；

② 本题还是把已知条件向基本量“靠拢”.

【典题3】数列\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)均为等比数列，其前\(n\)项和分别为\(S_n\)，\(T_n\)，若对任意的\(n∈N^*\)，都有\(\dfrac{S_{n}}{T_{n}}=\dfrac{3^{n}+1}{4}\)，则\(\dfrac{a_{4}}{b_{4}}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

【解析】当\(n=1\)时，\(\dfrac{S_{1}}{T_{1}}=\dfrac{3+1}{4}=1\)，

即\(a_1=b_1\)

设\(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)的公比分别为\(q\),\(p\)，

则\(\dfrac{S_{2}}{T_{2}}=\dfrac{a_{1}+a_{1} q}{b_{1}+b_{1} p}=\dfrac{1+q}{1+p}=\dfrac{9+1}{4}=\dfrac{5}{2}\)，

即\(2(1+q)=5(1+p)\)，即\(q=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5 p}{2}\)，

当\(n=3\)时，\(\dfrac{S_{3}}{T_{3}}=\dfrac{a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}}{b_{1}+b_{1} p+b_{1} p^{2}}=\dfrac{1+q+q^{2}}{1+p+p^{2}}=\dfrac{27+1}{4}=7\)

即\(1+q+q^2=7(1+p+p^2)\)，

将\(q=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5 p}{2}\)代入得\(1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5 p}{2}+\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{5 p}{2}\right)^{2}=7\left(1+p+p^{2}\right)\)，

整理得\(p^2－4p+3=0\)，得\(p=1\)或\(3\)，

当\(p=1\)时，\(q=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5 p}{2}=4\)，

此时\(\dfrac{S_{n}}{T_{n}}=\dfrac{\dfrac{a_{1}\left(1-4^{n}\right)}{1-4}}{n b_{1}}=\dfrac{4^{n}-1}{3 n} \neq \dfrac{3^{n}+1}{4}\)

\(∴p=1\)不成立，

当\(p=3\)时，\(q=9\)，此时\(\dfrac{a_{4}}{b_{4}}=\dfrac{a_{1} q^{3}}{b_{1} p^{3}}=\dfrac{9^{3}}{3^{3}}=27\)

综上\(\dfrac{a_{4}}{b_{4}}=27\).

【点拨】利用方程思想向基本量靠拢进行求解，计算量略大.

巩固练习

1(★★)已知数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=7\)，\(a_3=1\)，若\(\left\{\dfrac{1}{a_{n}+1}\right\}\)是等比数列，则\(a_{11}\)等于\(\underline{\quad \quad}\).

2(★★)已知数列\(\{a_n\}\)是各项均为正数的等比数列，其前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1+a_2=2\)，\(a_5+a_6=8\)，则\(S_{10}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

3(★★)已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和是\(S_n\)，若\(a_1+2a_2=0\)，\(S_{3}=\dfrac{3}{4}\)，且\(a≤S_n≤a+2\)，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).

4(★★)若等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和是\(S_n\)，且\(S_2=3\)，\(S_6=63\)，则\(S_5=\) \(\underline{\quad \quad}\).

5(★★)设\(\{a_n\}\)是各项均为正数的等比数列，\(S_n\)为其前\(n\)项和．已知\(a_1 a_3=16\)，\(S_3=14\)，若存在\(n_0\)使得\(a_1\),\(a_2\),⋯ ,\(a_{n_0}\)的乘积最大，则\(n_0\)的一个可能值是(　　)

A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(7\)

6(★★★)【多选题】在公比\(q\)为整数的等比数列\(\{a_n\}\)中，\(S_n\)是数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，若\(a_1 a_4=32\)，\(a_2+a_3=12\)，则下列说法正确的是(　　)

A．\(q=2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．数列\(\left\{S_{n}+2\right\}\)是等比数列

C．\(S_8=510\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad\) D．数列\(\left\{\lg a_{n}\right\}\)是公差为\(2\)的等差数列

7(★★★)【多选题】已知等比数列\(\{a_n\}\)公比为\(q\)，前\(n\)项和是\(S_n\)，且满足\(a_6=8a_3\)，则下列说法正确的是(　　)

A．\(q=2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(\dfrac{S_{6}}{S_{3}}=9\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(S_3\),\(S_6\),\(S_9\)成等比数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(S_n=2a_n+a_1\)

参考答案

1.\(-\dfrac{127}{128}\)

2.\(62\)

3.\(\left[-1, \dfrac{1}{2}\right]\)

4.\(－33\)或\(31\)

5.\(A\)

6.\(ABC\)

7.\(AB\)

【题型三】等比数列的基本性质及运用

【典题1】已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比大于\(1\)，\(a_3 a_7=72\)，\(a_2+a_8=27\)，则\(a_{12}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

【解析】在公比大于\(1\)的等比数列\(\{a_n\}\)中，

\(∵a_3 a_7=72⇒a_2 a_8=27\)，\(a_2+a_8=27\)

则\(a_2\),\(a_8\)是\(x^2-27x+72=0\)的两根，

\({\color{Red}{(利用韦达定理，求解更快捷)}}\)

可解得\(\left\{\begin{array}{c}
a_{2}=3 \\
a_{8}=24
\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{c}
a_{8}=3 \\
a_{2}=24
\end{array}\right.\)，

由于公比大于\(1\)，则\(a_2=3\)，\(a_8=24\)，

则有\(q^{6}=\dfrac{a_{8}}{a_{2}}=8\)，则\(q^2=2\)，

\({\color{Red}{(q^{n-m}=\dfrac{a_{n}}{a_{m}}，知道两项便可直接求出公比q)}}\)

\(a_{12}=a_2 q^{10}=3×2^5=96\)．

\({\color{Red}{(a_{n}=a_{m} q^{n-m}，求任意一项a_k不一定要知道a_1)}}\)

【点拨】本题若使用方程思想求基本量的方法，计算量就较大；注意项数的下标之间数值的关系，利用等比数列的相关性质求解快捷.

【典题2】【多选题】已知等比数列\(\{a_n\}\)的各项均为正数，公比为\(q\)，且\(a_1>1\)，\(a_6+a_7>a_5 a_8+1>2\)，记\(\{a_n\}\)的前\(n\)项积为\(T_n\)，则下列选项中正确的选项是 (　　)

A．\(0<q<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(a_6>1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(T_{12}>1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(T_{13}>1\)

【解析】\(∵a_6+a_7>a_5 a_8+1\)

\(∴a_6+a_7>a_6 a_7+1\)\(⇒a_6 a_7-a_6-a_7+1<0\)

\(∴(a_6－1)(a_7－1)<0 (*)\)，

\(∵a_1>1\)，

若\(a_6<1⇒a_1 q^5<1⇒0<q<1\)，

则一定有\(a_7=a_6 q<1\)，不符合 (*)，

\({\color{Red}{(大胆假设小心验证)}}\)

则\(a_6>1 ,a_7<1\),

\(∴0<q<1\)．

\(∵a_6 a_7+1>2\),

\(∴a_6 a_7>1\)，

\(∴T_{12}=a_1 a_2 a_3…a_{12}=(a_6 a_7 )^6>1\)，\(T_{13}=a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{12} a_{13}=a_{7}^{13}<1\)，

故选：\(ABC\)．

【点拨】注意到题中\(a_6\)、\(a_7\)、\(a_5\)、\(a_8\)下标存在\(6+7=5+8\)，而\(T_{12} 、 T_{13}\)与\(a_6\)、\(a_7\)有关，故利用等比数列的性质：若\(m+n=p+t\), 则\(a_m a_n=a_p a_t\).

【典题3】已知正项等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)且\(S_8－2S_4=6\)，则\(a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．

【解析】由于\(a_n>0\)，则公比\(q\)不可能等于\(-1\)，

由等比数列的性质可得：\(S_4\),\(S_8－S_4\),\(S_{12}－S_8\)成等比数列，

则\(S_{4}\left(S_{12}-S_{8}\right)=\left(S_{8}-S_{4}\right)^{2}\)\(\Rightarrow S_{12}-S_{8}=\dfrac{\left(S_{8}-S_{4}\right)^{2}}{S_{4}}\)\(=\dfrac{\left(S_{4}+6\right)^{2}}{S_{4}}=S_{4}+\dfrac{36}{S_{4}}+12\)，

\(\therefore a_{9}+a_{10}+a_{11}+a_{12}\)\(=S_{12}-S_{8}=S_{4}+\dfrac{36}{S_{4}}+12 \geq 24\)，

当且仅当\(S_4=6\)时等号成立．

则\(a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}\)的最小值为\(24\)．

【点拨】若\(q≠-1\),则\(S_{n}\),\(S_{2 n}-S_{n}\),\(S_{3 n}-S_{2 n}\),…成等比数列.

巩固练习

1(★★)若等比数列\(\{a_n\}\)的各项均为正数，且\(a_1 a_{10}=9\)，则\(\log _{9} a_{1}+\log _{9} a_{2}+\cdots+\log _{9} a_{10}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

2(★★)正项等比数列\(\{a_n\}\)满足\(a_2^2+2a_3a_7\)\(+a_6 a_{10}=16\)，则\(a_2+a_8=\) \(\underline{\quad \quad}\).

3(★★)在等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_{2} a_{5}=-\dfrac{3}{4}\)，\(a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=\dfrac{9}{4}\)，则\(\dfrac{1}{a_{2}}+\dfrac{1}{a_{3}}+\dfrac{1}{a_{4}}+\dfrac{1}{a_{5}}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

4(★★)已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2 a_3 a_4=1\)，\(a_6 a_7 a_8=64\)，则\(a_4 a_5 a_6=\) \(\underline{\quad \quad}\).

5(★★)等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_2+a_3=3\)，\(a_4+a_5+a_6=6\)，则\(\{a_n\}\)的前\(12\)项和为\(\underline{\quad \quad}\).

6(★★)若等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(\dfrac{S_{6}}{S_{3}}=6\)，则\(\dfrac{S_{9}}{S_{6}}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

7(★★)已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_1+a_3=5\)，\(S_4=20\)，则\(\dfrac{S_{8}-2 S_{4}}{S_{6}-S_{4}-S_{2}}=\) \(\underline{\quad \quad}\).

8(★★)已知正项等比数列\(\{a_n\}\)满足\(a_2 a_8=16a_5\),\(a_3+a_5=20\)，若存在两项\(a_m\),\(a_n\)使得\(\sqrt{a_{m} a_{n}}=32\)，则\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{4}{n}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).

9(★★)【多选题】设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，其前\(n\)项和是\(S_n\)，前\(n\)项积为\(T_n\)，并且满足条件\(a_1>1\)，\(a_7 a_8>1\)，\(\dfrac{a_{7}-1}{a_{8}-1}<0\)，则下列结论正确的是(　　)

A．\(0<q<1\) \(\qquad \qquad \qquad\)B．\(a_7 a_9>1\) \(\qquad \qquad \qquad\)C．\(S_n\)的最大值为\(S_9\) \(\qquad \qquad \qquad\)D．\(T_n\)的最大值为\(T_7\)

10(★★)【多选题】等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，且满足\(a_1>1\),\(a_{1010}a_{1011}>1\),\(\left(a_{1010}-1\right)\left(a_{1011}-1\right)<0\),记\(T_n=a_1 a_2 a_3…a_n\)，则下列结论正确的是(　　)

A．\(0<q<1\) \(\qquad\) B．\(a_{1010} a_{1012}-1>0\) \(\qquad\)C．\(T_{n} \leq T_{1011}\) \(\qquad\) D．使\(T_n<1\)成立的最小自然数\(n\)等于\(2021\)

参考答案

1.\(5\)

2.\(4\)

3.\(－3\)

4.\(8\)

5.\(45\)

6.\(\dfrac{31}{6}\)

7.\(10\)

8.\(\dfrac{3}{4}\)

9.\(AD\)

10.\(AD\)