USACO 2023 December Contest, Gold

Problem 1. Flight Routes

设原图的邻接矩阵为 \(e\)，考虑它给我们的矩阵是什么东西。

设 \(d_{i, j}\) 表示 \(i\) 到 \(j\) 的路径数的奇偶性，那么 \(d\) 矩阵可以类似 Floyd 得到。具体而言就是依次枚举 \(k, i, j\)，\(d_{i, j} \gets d_{i, j} \ \text{xor} \ (d_{i, k} \ \text{and} \ d_{k, j})\)。

我们发现 Floyd 的过程只用了位运算，那么它是可以反向还原的，所以倒着跑一遍 Floyd 就好了。

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Problem 2. Minimum Longest Trip

很容易想到拓扑排序，但难点在于不好比较从一个结点开始走时，它后面路径的字典序。

设从一个点 \(i\) 开始走，最多能走 \(d_i\) 的距离。

考虑按照 \(d_i\) 将所有点分层，每次用当前层的所有点更新下一层。对于每一层的点维护一个 \(rk_i\)，表示从 \(i\) 开始的路径的字典序排名，这样可以很方便地处理字典序最小的限制。\(rk_i\) 也可以在层之间递推得到。

然后基本上就是拓扑排序板子了，没什么好讲的。

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Problem 3. Haybale Distribution

首先有一个比较显然的结论：\(y\) 一定与某个 \(x_i\) 重合。

至于为什么是这样呢，考虑代价是一次函数，如果 \(y\) 被夹在 \(x_i\) 和 \(x_{i + 1}\) 之间，那么将 \(y\) 向 \(x_i\) 或 \(x_{i + 1}\) 的方向调整肯定不劣的。

然后考虑将询问离线下来，按 \(\frac{b_i}{a_i}\) 排序，那么决策点会不断右移。所以线性扫一遍就好了。

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