NOIP模拟测试A3

A. 谜之阶乘

题目是让我们把 \(n\) 分解成两个阶乘的商，本来想推个式子什么的，结果发现推不出来。

我们知道，阶乘的增长速率非常的快啊！那么这个 \(b - a\) 的值肯定不会太大，我们可以暴力枚举 \(b - a\) 的值。

假设我们选择 \(5\) 个连续的正整数的乘积为 \(n\)，那么他们的值都在 \(\sqrt[5]{n}\) 附近。

那么假设 \(d = b - a\)，显然有 \(\displaystyle a < \sqrt[d]{n}\)，\(\displaystyle b < \sqrt[d]{n}\)。

我们就可以直接在 \(\sqrt[d]{n}\) 附近的范围枚举，枚举 \(20\) 个就差不多了。

复杂度大概是 \(\displaystyle O(T \ \text{log}_2^2 \ n)\)。

Code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define int long long

int T;
int n;

struct Node{
	int first,second;

	friend bool operator<(Node a,Node b) {
		return a.first < b.first;
	}
}res[100500];

int cnt;

signed main() {
	std::cin >> T;
	while(T--) {
		std::cin >> n;
		if(n == 1) {
			std::cout << "-1\n";
			continue;
		}
		cnt = 1;
		res[cnt] = (Node){n,n - 1};
		for(int i = 2;i <= 63; i++) {
			int x = pow((double)n,(double)1 / (double)i);
			while(1) {
				int y = x - i + 1;
				int k = 1;
				for(int i = y;i <= x; i++)
					k *= i;

				if(k > n)
					break;

				if(k == n && y - 1 != 0) {
					cnt ++;
					res[cnt] = (Node){x,y - 1};
					break;
				}
				x ++;
			}
		}

		std::cout << cnt << "\n";
		for(int i = cnt;i >= 1; i--)
			std::cout << res[i].first << " " << res[i].second << "\n";
	}
	return 0;
}

B. 子集

记 \(m = \dfrac{n}{k}\)。

首先判掉无解的情况。

\(m = 1\) 时显然是无解的。

若 \(1\) 到 \(n\) 之和不是 \(k\) 的倍数，肯定无法分成相等的集合，也无解。

若 \(n\) 为偶数而 \(m\) 是奇数，也就符合了上面说的那种情况，无解。

再特判一下 \(k = 1\) 的情况，直接输出就可以了。

考虑 \(m\) 为偶数，那么我们可以直接将 \(i\) 与 \(n - i\) 配对，显然这样各集合元素之和是相等的。

若 \(n,m\) 均为奇数，我们把 \(m\) 看作 \(2x + 3\)，对于 \(2x\) 我们像之前那样处理，只是特殊处理出前三列。

然后进行构造。



复杂度 \(O(n)\)。

Code：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long

int T,n,k,m;

long long sum,cnt;

int l;

std::vector<int> f[500500];

signed main() {
    cin >> T;
    while(T--) {
        for(int i = 0;i < 500500; i++)
            f[i].clear();
        cin >> n >> k;
        m = n / k;
        sum = n * (n + 1) / 2;

        if(k == 1) {
            printf("Yes\n");
            for(int i = 1;i <= n; i++)
                cout << i << " ";
            cout << endl;
            continue;
        }

        if(sum%k != 0 || m == 1 || n == k) {
            // 有 n 组，不可能各组和相等  
            cout << "No" << endl;
            continue;
        }

        if(n&1 == 0 && m&1 != 0) {
            // 1 到 n 的和肯定不是 k 的倍数  
            cout << "No" << endl;
            continue;
        }

        cout << "Yes\n";
        if(m&1) {// m 为奇数  
            for(int i = 1;i <= (m - 3)/2; i++) {
                l = (i - 1) * 2 * k;
                for(int j = 1;j <= k; j++)
                    f[j].push_back(l + j);

                for(int j = k;j >= 1; j--)
                    f[j].push_back(l + 2 * k - j + 1);
            }

            l = (m - 3) * k;

            for(int i = 1;i <= k; i++)
                f[i].push_back(l + i);

            l = l + k;

            for(int i = (k - 1)/2 + 1; i <= k; i++)
                f[i].push_back(l + i - (k - 1)/2);

            for(int i = 1;i <= (k - 1)/2; i++)
                f[i].push_back(l + k - (k - 1)/2 + i);

            for(int i = (k - 1)/2 + 1,m = n;i <= k; i++, m -= 2)
                f[i].push_back(m);

            for(int i = 1,m = n - 1;i <= (k - 1)/2; i ++ ,m -= 2)
                f[i].push_back(m);

            for(int i = 1;i <= k; i++) {
                for(int j = 0;j < f[i].size(); j++)
                    cout << f[i][j] << " ";
                cout << endl;
            }
        }
        else {
            for(int i = 1;i <= k; i++) {
                for(int j = 1;j <= (m/2); j++) {
                    int l = 2 * (j - 1);
                    cout << (l * k + i) << " " << ((l | 1)*k + k - i + 1) << " ";
                }
                cout << endl;
            }
        }
	}
    return 0;
}
/*
Input:
4
4 4
4 1
12 3
9 3
*/

C. 混凝土粉末

把询问离线，在序列下标上执行扫描线，开一棵以询问编号为下标的树状数组。

扫到一个修改的左端点时，在树状数组上二分，扫到左端点加 \(h[i]\)，扫到右端点时减去。

扫到询问时，在树状数组上二分。

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2005000;

int n,q;
int opt[N],res[N];

vector< pair<int,int> > g[N],h[N];

class BIT{
	private:
		int bit[N];

		int lowbit(int x) {
			return x & (-x);
		}
	public:
		void Add(int x,int y,int val) {
			for(int i = x;i <= y; i += lowbit(i))
				bit[i] += val;
		}

		int Query(int x) {
			int ans = 0;

			for(int i = x;i; i -= lowbit(i))
				ans += bit[i];

			return ans;
		}
}tree;

signed main() {
	cin >> n >> q;
	for(int i = 1,l,r,x,y;i <= q; i++) {
		cin >> opt[i];
		if(opt[i] == 1) {
			cin >> l >> r >> x;
			g[l].push_back(make_pair(i,x));
			g[r + 1].push_back(make_pair(i,-x));
		}
		else {
			cin >> x >> y;
			h[x].push_back(make_pair(i,y));
		}
	}

	for(int i = 1;i <= n; i++) {
		for(int j = 0;j < g[i].size(); j++)
			tree.Add(g[i][j].first,q,g[i][j].second);

		for(int j = 0;j < h[i].size(); j++) {
			int l = 1,r = h[i][j].first,mid;

			while(l < r) {
				mid = (l + r) >> 1;
				if(tree.Query(mid) >= h[i][j].second)
					res[h[i][j].first] = r = mid;
				else
					l = mid + 1;
			}
		}
	}

	for(int i = 1;i <= q; i++)
		if(opt[i] == 2)
			cout << res[i] << endl;
	return 0;
}

D. 排水系统

Code：

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long

const int N = 20090500;
const int MOD = 998244353;

int n,m,r,k;

struct Edge{
	int next,to,val;
}e[N];

int h[N],cnt;

int in[N],out[N],sum;

int inv[N],inverse;

int f[N][2];

std::queue<int> que;

void Add(int u,int v,int w) {
	cnt ++;
	e[cnt].next = h[u];
	h[u] = cnt;
	e[cnt].to = v;
	e[cnt].val = w;
	return ;
}

int pow(int a,int b) {
	int ans = 1;
	while(b) {
		if(b&1)
			ans *= a;
		ans %= MOD;
		a *= a;
		a %= MOD;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

void Input() {
	std::cin >> n >> m >> r >> k;

	for(int i = 1,u,v,w;i <= k; i++) {
		std::cin >> u >> v >> w;
		Add(u,v,w);

		in[v] ++;
		out[u] ++;

		sum += w;
		sum %= MOD;
	}
	return ;
}

void Ready() {

	inverse = pow(sum,MOD - 2);
	std::cerr << inverse <<"\n";
	inv[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= k; i++)
		inv[i] = (long long)(MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;

	for(int i = 1;i <= n; i++)
		if(!in[i])
			que.push(i);

	for(int i = 1;i <= m; i++)
		f[i][0] = f[i][1] = 1;
	return ;
}

void Work() {
	while(!que.empty()) {
		int x = que.front();
		que.pop();
		int tot = 0;

		for(int i = h[x];i; i = e[i].next) {
			int to = e[i].to;
			in[to] --;

			if(!in[to])
				que.push(to);

			f[to][1] = (f[to][1] + (long long)f[x][1] % MOD * inv[out[x]] % MOD) % MOD;
			f[to][0] = (f[to][0] + (long long)f[x][0] % MOD * inv[out[x]] % MOD) % MOD;

			tot = (tot + (long long)f[x][0] % MOD * inverse % MOD * e[i].val % MOD * inv[out[x] - 1] % MOD * inv[out[x]]) % MOD;
		}

		for(int i = h[x];i; i = e[i].next) {
			int to = e[i].to;

			f[to][1] = (f[to][1] + tot - (long long)f[x][0] % MOD * inverse % MOD * e[i].val % MOD * inv[out[x] - 1] % MOD * inv[out[x]] % MOD + MOD) % MOD;
			f[to][1] = (f[to][1] + MOD - (long long)f[x][0] % MOD * inverse % MOD * e[i].val % MOD * inv[out[x]] % MOD) % MOD;
		}
	}

	return ;
}

void Output() {
	for(int i = n - r + 1;i <= n; i++)
		std::cout << (f[i][1] + MOD) % MOD << " ";
	return ;
}

signed main() {
	Input();

	Ready();

	Work();

	Output();
	return 0;
}