题解 「SDOI2017」硬币游戏

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Description

周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。

大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。

同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币，其他同学记录下正反面情况。

用 $ \texttt{H} $ 表示正面朝上， 用 $ \texttt{T} $ 表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比如 $ \texttt{HTT} $ 表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。

但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出 $ n $ 个同学， 每个同学猜一个长度为 $ m $ 的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利。为了保证只有一个同学胜利，同学们猜的 $ n $ 个序列两两不同。

很快，$ n $个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

对于 $ 10% $ 的数据，$ 1 \leq n, m \leq 3 $；

对于 $ 40% $ 的数据，$ 1 \leq n, m \leq 18 $；

对于另外 $ 20%$ 的数据，$ n = 2 $；

对于 $ 100% $ 的数据，$ 1 \leq n, m \leq 300 $。

Solution

考虑使用概率生成函数。

我们设 \([x^n]G(x)\) 表示在 \(n\) 次操作后仍未结束的概率，\([x^n]F_i(x)\) 表示在 \(n\) 次操作后第 \(i\) 个人获胜的概率，\(a_{i,j,k}\) 表示第 \(i\) 个人的 \([1,k]\) 与第 \(j\) 个人的 \([m-k+1,m]\) 是否相同。

那我们可以得到：

\[G(x)+\sum_{i=1}^{n} F_i(x)=1+x·G(x)
\]

\[G(x)(\frac{1}{2})^mx^m=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_{i,j,k}(\frac{1}{2})^{m-k}x^{m-k}F_j(x)
\]

因为你最后只需要求出 \(F_i(1)\) ，所以可以把 \(x\) 都当成 \(1\) ，然后第一个式子就变为了：

\[\sum_{i=1}^{n} F_i(1)=1
\]

（似乎很显然的不需要第一个式子）

然后你就有 \(n+1\) 个方程，可以直接高斯消元了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define Int register int

#define MAXN 305

template <typename T> inline void read (T &t){t = 0;char c = getchar();int f = 1;while (c < '0' || c > '9'){if (c == '-') f = -f;c = getchar();}while (c >= '0' && c <= '9'){t = (t << 3) + (t << 1) + c - '0';c = getchar();} t *= f;}

template <typename T,typename ... Args> inline void read (T &t,Args&... args){read (t);read (args...);}

template <typename T> inline void write (T x){if (x < 0){x = -x;putchar ('-');}if (x > 9) write (x / 10);putchar (x % 10 + '0');}

template <typename T> inline void chkmax (T &a,T b){a = max (a,b);}

template <typename T> inline void chkmin (T &a,T b){a = min (a,b);}

int n,m;

char S[MAXN][MAXN];

bool a[MAXN][MAXN][MAXN];

double mat[MAXN][MAXN],pw2[MAXN],ans[MAXN];

#define seed 1000000007

#define ull unsigned long long

ull pw[MAXN],pre[MAXN][MAXN],suf[MAXN][MAXN];

void gauss (){

	int up = n + 1;

	for (Int i = 1;i <= up;++ i){

		int ind = i;

		for (Int j = i;j <= up;++ j) if (abs (mat[j][i]) >= 1e-7){ind = j;break;}

		if (ind ^ i) swap (mat[i],mat[ind]);

		for (Int j = i + 1;j <= up;++ j){

			double det = mat[j][i] / mat[i][i];

			for (Int k = i;k <= up + 1;++ k) mat[j][k] -= mat[i][k] * det;

		}

	}

	for (Int i = up;i >= 0;-- i){

		for (Int j = i + 1;j <= up;++ j) mat[i][up + 1] -= mat[i][j] * ans[j];

		ans[i] = mat[i][up + 1] / mat[i][i];

	}

}

signed main (){

	read (n,m),pw[0] = pw2[0] = 1;

	for (Int i = 1;i <= m;++ i) pw[i] = pw[i - 1] * seed,pw2[i] = pw2[i - 1] * 2;

	for (Int i = 1;i <= n;++ i) scanf ("%s",S[i] + 1);

	for (Int i = 1;i <= n;++ i){

		for (Int j = 1;j <= m;++ j) pre[i][j] = pre[i][j - 1] * seed + (S[i][j] == 'T');

		for (Int j = m;j >= 1;-- j) suf[i][j] = suf[i][j + 1] + (S[i][j] == 'T') * pw[m - j];

	}

	for (Int i = 1;i <= n;++ i) 

		for (Int j = 1;j <= n;++ j)

			for (Int k = 1;k <= m;++ k)

				a[i][j][k] = (pre[i][k] == suf[j][m - k + 1]);

	for (Int i = 1;i <= n;++ i){

		for (Int j = 1;j <= n;++ j)

			for (Int k = 1;k <= m;++ k)

				if (a[i][j][k]) mat[i][j] += pw2[k];

		mat[i][n + 1] = -1;

	}

	for (Int i = 1;i <= n;++ i) mat[n + 1][i] = 1;mat[n + 1][n + 2] = 1;

	gauss ();for (Int i = 1;i <= n;++ i) printf ("%.6f\n",ans[i]);

	return 0;

}