[atARC098F]Donation
贪心,一定在最后一次经过某节点时付出$b_{u}$,条件是付出后$W\ge \max(a_{i}-b_{i},0)$(同时也可以仅考虑这个限制,因为$W$在过程中不会增大)
假设“最后一次经过”的顺序为$p_{1},p_{2},...,p_{n}$,则要保证存在$p_{i}$到$p_{i+1}$的路径不经过$p_{1},...,p_{i-1}$,也即对于任意一个后缀,其点集的导出子图连通
倒序模拟这个过程(因为有连通的限制),二分枚举$d=W-\sum_{i=1}^{n}b_{i}$,那么可以看作从一个点($p_{n}$)开始拓展,找到相邻的$x$满足$d\ge a_{x}-b_{x}$,则可以拓展$x$(作为$p_{n-1}$),重复此过程直至拓展整张图
由于拓展只会增加$d$,因此可以贪心拓展,用优先队列维护最小的$a_{x}-b_{x}$去拓展一定最优,此时时间复杂度为$o(n^{2}\log^{2}n)$(因为要枚举$p_{n}$,还有优先队列),无法通过
仍然先枚举$p_{n}$,令$v$为$a_{v}-b_{v}$最大的位置,$G'$为删除$v$后$p_{n}$所在的连通块,从上面的过程来看,在这个贪心下,只有拓展完$G'$后才可能拓展$v$,同时当拓展完$v$后整张图一定都可以拓展
因此,合法条件变为两个:1.$G'$能拓展完;2.$G'$拓展完后$d\ge a_{v}-b_{v}$,前者是一个子问题,可以继续找到最大的$v'$来处理,直至最后$|V|=1$(即为起点)
将这个结构构成一棵树(类似点分树,只是将重心换成$a_{v}-b_{v}$最大的位置),根据上面的条件,即要求找到$a_{x}-b_{x}\le d$的位置,满足$s_{x}+d\ge a_{fa}-b_{fa}$(其中$s_{x}$为$x$子树中$b$的和)直至根
如何建出这棵树,可以从小到大枚举$a_{i}-b_{i}$,然后去合并相邻且比他小的位置作为儿子,再用并查集维护即可
由于后者的条件与起点关系不大,可以看作从根出发,找到合法且$a_{x}-b_{x}$最小的位置,判断与$d$的大小即可,此时时间复杂度为$o(n\log n)$
还可以枚举起点的位置来做到$o(n)$,即先忽略$a_{x}-b_{x}\le d$的限制,求出每一个位置上最小的$d$,记为$f_{k}$,转移为$f_{k}=\max(f_{fa},a_{fa}-b_{fa}-s_{k})$,答案为$\min_{1\le i\le n}\max(f_{i},a_{i}-b_{i})$
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 100005
4 #define ll long long
5 struct ji{
6 int nex,to;
7 }edge[N<<1];
8 vector<int>v[N];
9 int E,n,m,x,y,ans,head[N],a[N],id[N],rk[N],fa[N],f[N];
10 ll s[N];
11 bool cmp(int x,int y){
12 return a[x]<a[y];
13 }
14 void add(int x,int y){
15 edge[E].nex=head[x];
16 edge[E].to=y;
17 head[x]=E++;
18 }
19 int find(int k){
20 if (k==fa[k])return k;
21 return fa[k]=find(fa[k]);
22 }
23 void merge(int x,int y){
24 x=find(x),y=find(y);
25 if (x!=y){
26 fa[x]=y;
27 s[y]+=s[x];
28 v[y].push_back(x);
29 }
30 }
31 void dfs(int k){
32 ans=min(ans,max(f[k],a[k]));
33 for(int i=0;i<v[k].size();i++){
34 f[v[k][i]]=f[k];
35 if (a[k]>s[v[k][i]])f[v[k][i]]=max(f[k],(int)(a[k]-s[v[k][i]]));
36 dfs(v[k][i]);
37 }
38 }
39 int main(){
40 scanf("%d%d",&n,&m);
41 memset(head,-1,sizeof(head));
42 for(int i=1;i<=n;i++){
43 scanf("%d%lld",&a[i],&s[i]);
44 a[i]=max(a[i]-s[i],0LL);
45 id[i]=fa[i]=i;
46 }
47 sort(id+1,id+n+1,cmp);
48 for(int i=1;i<=n;i++)rk[id[i]]=i;
49 for(int i=1;i<=m;i++){
50 scanf("%d%d",&x,&y);
51 add(x,y);
52 add(y,x);
53 }
54 for(int i=1;i<=n;i++)
55 for(int j=head[id[i]];j!=-1;j=edge[j].nex)
56 if (rk[edge[j].to]<i)merge(edge[j].to,id[i]);
57 ans=a[id[n]];
58 dfs(id[n]);
59 printf("%lld",ans+s[id[n]]);
60 }
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