[atARC105D]Let's Play Nim

先对$n$分奇偶两种情况考虑——

$n$为奇数，显然先手希望最终产生的$x_{1}\oplus x_{2}\oplus...\oplus x_{n}=0$

对于后手，考虑构造：将最大的未被选择的$a_{k}$放在最大的$x_{t}$上，很明显除去先手的第一个以外，后手的每一次都比先手的下一次放的数大

设$a_{k}$为先手第一个取的位置，即必然有$x_{t}-a_{k}\ge \sum_{i=1}^{n}a_{i}-a_{k}-x_{t}$，即$x_{t}>\sum_{i=1}^{n}a_{i}-x_{t}$

而$x_{1}\oplus x_{2}\oplus...\oplus x_{n}=0$当且仅当$x_{t}=x_{1}\oplus x_{2}\oplus...x_{t-1}\oplus x_{t+1}...\oplus x_{n}\le \sum_{i=1}^{n}a_{i}-x_{t}<x_{t}$，因此后手必胜

$n$为偶数，显然先手希望最终产生的$x_{1}\oplus x_{2}\oplus...\oplus x_{n}>0$

对于先手，类似上述后手的构造，那么有$x_{t}\ge \sum_{i=1}^{n}a_{i}-x_{t}$

最终异或能为0的必要条件是$x_{t}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}-x_{t}$，同时在这样的情况下，必然是$a_{i}$成对出现，后手可以模仿先手的操作使得异或为0，因此此时后手必胜

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 map<int,int>mat;
 4 int t,n,a[100005];
 5 int main(){
 6     scanf("%d",&t);
 7     while (t--){
 8         scanf("%d",&n);
 9         for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
10         if (n&1)printf("Second\n");
11         else{
12             mat.clear();
13             int flag=0;
14             for(int i=1;i<=n;i++){
15                 mat[a[i]]^=1;
16                 flag+=2*mat[a[i]]-1;
17             }
18             if (flag)printf("First\n");
19             else printf("Second\n");
20         }
21     }
22 }