MT【283】图像有唯一公共点.

函数$f(x)=\sqrt[n]x(n-\ln x),$其中$n\in N^*,x\in(0,+\infty)$.
(1)若$n$为定值,求$f(x)$的最大值.
(2)求证:对任意$m\in N^+$,有$\ln1+\ln2+\cdots+\ln(m+1)>2(\sqrt{m+1}-1)^2;$
(3)若$n=2,\ln a\ge1,$求证:对任意$k>0,$直线$y=-kx+a$与曲线$y=f(x)$有唯一公共点.

分析:
1)$f(x)\le f(1)$即$\sqrt[n]x(n-\ln x)\le n$
2)由(1),取$n=2$得$\ln x\ge 2-\dfrac{2}{\sqrt{x}}$;注意到$\dfrac{1}{\sqrt{k}}\le 2(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})$
故$\sum\limits_{k=2}^{m+1}\ln k\ge\sum\limits_{k=2}^{m+1}(2-\dfrac{2}{\sqrt{k}})$
$>\sum\limits_{k=2}^{m+1}[2-4(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})]$
$=2m-4(\sqrt{m+1}-\sqrt{1})=2(\sqrt{m+1}-1)^2$
(3)$-kx+a=f(x)$有唯一解变形成$-k=\dfrac{\sqrt{x}(2-\ln x)-a}{x}$有唯一解.
令$t=\sqrt{x}>0$记$g(t)=\dfrac{t(2-2\ln t)-a}{t^2}$则由题意只需证明$y=-k<0$与$y=g(t)$的图像有唯一公共点.
$\because \lim\limits_{t\rightarrow 0}\dfrac{t(2-2\ln t)-a}{t^2}=-\infty; \lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\dfrac{t(2-2\ln t)-a}{t^2}=0$
又$g^{'}(t)=\dfrac{-2t(2-\ln t)+2a}{t^3}\ge 0,(\textbf{由}h(t)=-2t(2-\ln t)+2a\ge h(e)=2(a-e)\ge0\textbf{可得})$
故由图可知对任意$k>0,y=-k$与$y=g(t)$由唯一公共交点.
注:这种图像唯一交点的题目通常可以通过上述方法,类似与参数分离,说明图像的变化趋势可得.

练习:(2018浙江高考压轴题)已知$f(x)=\sqrt{x}-\ln x$
（2）若$a\le3-4\ln2$,证明:对于任意$k$,直线$y=kx+a$与$y=f(x)$有唯一公共点.