范围最小值问题(Range Minium Query,RMQ)---RMQ问题

一、一维问题

给出一个n个元素的数组A1,A2,...,An,

设计一个数据结构,

支持查询操作Query(L,R):计算min(AL,AL+1,...AR

显然,

用一个循环来计算最小值

显然不够快,

即使是前缀和的思想也不能提高效率!

那么,

实践中最常用的是Tarjan的Sparse-Table算法(就是ST表)

预处理时间:O(nlogn)

查询时间:O(1)

(这个算法非常好写,而且还不容易出错)

(其实:RMQ问题可以做到O(n)预处理,O(1)查询,但,我不会,嘻嘻,蒟蒻本质)

--------------------------------------------------------

ST表:

用的是倍增的思想

用来求区间最值问题

(ST表即可以求最大值,又可以求最小值;但RMQ问题只需要求区间最小值,所以,可以说是,用ST这种算法来解决RMQ问题)

令d(i,j)表示从i开始的,长度为2j的一段元素中的最小值;

那么,就可以用递推的方法计算

  d(i,j)=min{d(i,j-1),d(i+2j-1,j-1)}

原理如下

时间复杂度分析:

  2j<=n;因此d数组的元素个数不超过nlogn,而每一项都可以在常数时间计算完毕,故总时间为O(nlogn)

代码:

void RMQ_init(const vector<int>& A)
{
int n = A.size();
for(int i = ;i < n;i++)
d[i][] = A[i];
for(int j = ;( << j) <= n;j++)
for(int i = ;i + (<<j) - < n;i++)
d[i][j] = min(d[i][j-],d[i + (<<(j-))][j-]);
}

上面这是预处理的操作

下面就是查询操作

由于并不是每个数都恰好是2的k次方

所以只能退而求其次

令k满足2k<=R-L+1的最大整数

那么

以L开头,以R结尾的两个长度为2k的区间合起来机覆盖了查询区间[L,R]。

由于是取最小值

所以有些元素

重复考虑了几遍也没关系

(但如果是累加,重复元素就是不允许的了)

原理如下

查询的代码:

int RMQ(int L,int R)
{
int k = ;
while(<<(k+) <= R-L+)
k++;//如果2^(k+1)<=R-L+1.那么k还可以加1
//这步保证k是取了它的最大值,即下面的两个范围是把全部部分都覆盖了
return min(d[L][k],d[r-(<<k)+][k]);
}

二、二维问题

二维RMQ问题就是求一个矩阵N*M中的一个小块矩阵内的最值问题.其中dmin[i][j][ii][jj]=x表示以(i, j)为左上角,以(i+(1<<ii)-1, j+(1<<jj)-1 )为右下角的矩阵内的最小值.dmax的值类似.

下面dmin[i][j][ii][jj]的值如何求呢?首先我们知道dmin[i][j][0][0]的值就是v[i][j],而假设dmin[i][j][ii][jj]中的ii不为0,那么dmin[i][j][ii][jj]= min(dmin[i][j][ii-1][jj], dmin[i+(1<<ii)][j][ii-1][jj] );如果ii为0,那么就按jj来求.

其实上面的求法就是等于把二维问题转变为一维问题来求解.

下面我们讨论如何查询结果.

对于一个以(x1, y1)为左上角,以(x2, y2)为右下角的矩形,如何求它的最小值和最大值呢?下面假设我们求最小值:

我们把(x1,y1)与(x2,y2)构成的矩形分成四小块,这四小块可能有重合部分,但是它们共同构成了目标矩形:

dmin[x1][y1][ii][jj]

dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]

dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj]

dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj]

(自己想象下上面4小块是怎么样的?)

temp 1=min(dmin[x1][y1][ii][jj] , dmin[x1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj])

temp 2=min(dmin[x2-(1<<ii)+1][y1][ii][jj] ,dmin[x2-(1<<ii)+1][y2-(1<<jj)+1][ii][jj] )

最终结果是min(temp1, temp2);

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=+; int dmax[MAXN][];
int dmin[MAXN][]; void initmax(int n,int d[])//初始化最大值查询
{
for(int i=; i<=n; i++)
dmax[i][]=d[i];
for(int j= ; (<<j)<=n ; j++)
for(int i=; i+(<<j)- <=n; i++)
dmax[i][j]=max(dmax[i][j-],dmax[i+(<<(j-))][j-]);
}
int getmax(int L,int R)//查询最大值
{
int k=;
while((<<(k+))<=R-L+)k++;
return max(dmax[L][k] , dmax[R-(<<k)+][k]);
} void initmin(int n,int d[])//初始化最小值查询
{
{
for(int i=; i<=n; i++)
dmin[i][]=d[i];
for(int j=; (<<j)<=n; j++)
for(int i=;i+(<<j)-<=n;i++)
dmin[i][j]= min( dmin[i][j-],dmin[i+(<<(j-))][j-] );
}
int getmin(int L,int R)//查询最小值
{
int k=;
while( (<<(k+)) <=R-L+)k++;
return min(dmin[L][k],dmin[R-(<<k)+][k]);
}

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