【LOJ 2004】「SDOI2017」硬币游戏

LOJ 2004 100pts

首先我们肯定要建AC自动机的。。

那么这题就肯定是个AC自动机上\(dp\)。

所以想想状态。

首先如果我们把状态设成这样行不行：

\(dp(i)\)表示匹配到了i节点的概率。

那么转移的时候就是\(dp(i)=\frac{1}{2}\sum dp(go_i^c)\)。

这样的转移是有环的。。。所以高斯消元。。。

但是！AC自动机的节点数是\(O(n^2)\)的。。。

所以T得飞起。。

那么试着改一改？

改为\(dp(i)\)直接表示第i个串第一次出现的概率？

那么转移很难啊。

如果我们当前的串为\(S\)，并且没有任何的串在其中出现过，设所有的\(S\)的概率综合为\(fail\)。

那么我们在\(S\)后硬生生地加上\(s_i\)，那么这个概率是\(fail\times frac{1}{2}^m\)。

但是可能中间会有某个\(s_j\)出现。

那么现在的串可以变形成\(S\)的一个前缀\(+s_j+s_i\)的一个后缀

其中\(s_i\)的一个前缀和\(s_j\)的一个后缀匹配。（这不就是\(fail\)指针吗！

其中的概率是\(dp(j)\times frac{1}{2}^{len(suf(s_i))}\)。

所以转移方程就出来了。

但是。。。这个还是有环的。。。所以高斯消元。。。

可惜我们只有\(n\)个方程，却有\(n+1\)个未知数。

但注意到所有串第一次出现的概率之和为\(1\)就释然了。

做完了。。。