Loj 2731 「JOISC 2016 Day 1」棋盘游戏

JOI 君有一个棋盘，棋盘上有 $N$ 行 $3$ 列的格子。JOI 君有若干棋子，并想用它们来玩一个游戏。初始状态棋盘上至少有一个棋子，也至少有一个空位。

游戏的目标是：在还没有放棋子的格子上依次放棋子，并填满整个棋盘。在某个格子上放置棋子必须满足以下条件之一：

这个格子的上下一格都放有棋子；
这个格子的左右一格都放有棋子。

JOI 君想知道有多少种从初始状态开始，并达到游戏目标的方案，这个答案可能会非常大。请你帮 JOI 君算出这个答案，并对 $10^9+7$ 取模。

输入格式

第一行有一个整数 $N$ ，表示棋盘的大小为纵向 $3$ 格，横向 $N$ 格。

接下来的三行均为仅由 o 和 x 组成的字符串。这三行中第 $i$ 行的第 $j$ 个字符表示棋盘中从上到下第 $i$ 行，从左到右第 $j$ 个棋子的状态。其中 o 表示开始时有棋子被放置，x 表示开始时这个位置为没有放置着棋子。

输出格式

一个整数，表示符合条件的方案个数。

样例输入 1

3
oxo
xxo
oxo

样例输出 1

样例输入 2

10
ooxooxoxoo
xooxxxoxxx
oxoxoooooo

样例输出 2

149022720

样例输入 3

10
ooxoxxoxoo
oxxxxxoxxx
oxooxoxoxo

样例输出 3

样例解释 3

没有可以达到最终状态的方案。

样例输入 4

20
oxooxoxooxoxooxoxoxo
oxxxoxoxxxooxxxxxoox
oxooxoxooxooxooxoxoo

样例输出 4

228518545

$JOI$的$DP$题好恶心。

显然，$1,3$行的空格左右两边必须是已经放好的棋子，否则无解。也就是说$1,3$行的空格可以再任意时刻放棋子。

于是我们只需要对第$2$行中的空格进行$DP$就可以了。

我们设$f_{i,j}$表示$(2,i)$的空格在时刻$j$放了一个棋子，且$(2,i-1)$在$(2,i)$之后放置的方案数；$g_{i,j}$表示$(2,i)$的空格在时刻$j$放了一个棋子，且$(2,i-1)$在$(2,i)$之前放置的方案数。

我们的$f_{i,j},g_{i,j}$都是没有考虑$(1,i)$以及$(3,i)$的放置情况的，当我们转移$f_{i+1,j},g_{i+1,j}$的时候我们再考虑。因为如果$(2,i-1),(2,i+1)$都在$(2,i)$之前放置，则$(1,i),(3,i)$可以任意放置，否则必须在$(2,i)$之前放置。

转移就按$(2,i)$和$(2,i+1)$分$4$中情况讨论。

细节就不说了，讨论就行了。

转移的时候还要用前缀和优化。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pr pair<int,int>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define N 2005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=1e9+7;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}
int n;
char mp[4][N];
ll fac[N*3],ifac[N*3];
ll C(int n,int m) {
	if(n<m) return 0;
	return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}
int u[N];
ll f[N][N*3],g[N][N*3];
int res,sum[N];
ll pre[N*3];
int main() {
	n=Get();
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=3*n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[3*n]=ksm(fac[3*n],mod-2);
	for(int i=3*n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=1;i<=3;i++) {
		scanf("%s",mp[i]+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(mp[1][i]=='x'&&(mp[1][i-1]!='o'||mp[1][i+1]!='o')) {cout<<0;return 0;}
		if(mp[3][i]=='x'&&(mp[3][i-1]!='o'||mp[3][i+1]!='o')) {cout<<0;return 0;}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(mp[1][i]=='x') u[i]++;
		if(mp[3][i]=='x') u[i]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+u[i]+(mp[2][i]=='x');
	if(mp[2][1]=='x') f[1][1]=1;
	else f[1][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(mp[2][i]=='x') {
			if(mp[2][i-1]=='x') {
				memset(pre,0,sizeof(pre));
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//f,i-1由上下贡献
					if(u[i-1]==2) pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j]*j%mod*(j+1))%mod;
					else if(u[i-1]==1) pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j]*j)%mod;
					else pre[j]=(pre[j-1]+f[i-1][j])%mod;
				}
				for(int j=sum[i-1];j>=1;j--) if(j>u[i-1]) pre[j]=pre[j-u[i-1]];
				for(int j=1;j<=u[i-1];j++) pre[j]=0;
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) (f[i][j]+=pre[sum[i-1]]-pre[j-1]+mod)%=mod;
				for(int j=2;j<=sum[i-1]+1;j++) (g[i][j]+=pre[j-1])%=mod;
				memset(pre,0,sizeof(pre));
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//g,i-1由上下贡献
					if(u[i-1]==2) pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j]*j%mod*(j+1))%mod;
					else if(u[i-1]==1) pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j]*j)%mod;
					else pre[j]=(pre[j-1]+g[i-1][j])%mod;
				}
				for(int j=sum[i-1];j>=1;j--) if(j>u[i-1]) pre[j]=pre[j-u[i-1]];
				for(int j=1;j<=u[i-1];j++) pre[j]=0;
				for(int j=2;j<=sum[i-1]+1;j++) (g[i][j]+=pre[j-1])%=mod;
				memset(pre,0,sizeof(pre));
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {//g,i-1由左右贡献
					(pre[j]+=pre[j-1])%=mod;
					if(!u[i-1]) {
						(pre[j]+=g[i-1][j])%=mod;
					} else if(u[i-1]==1) {
						(pre[j+1]+=g[i-1][j]*j)%=mod;
						(pre[j]+=g[i-1][j]*(sum[i-1]-j))%=mod;
					} else {
						(pre[j]+=g[i-1][j]*(sum[i-1]-j-1)%mod*(sum[i-1]-j))%=mod;
						(pre[j+1]+=g[i-1][j]*j%mod*(sum[i-1]-j-1)%mod*2)%=mod;
						(pre[j+2]+=g[i-1][j]*j%mod*(j+1))%=mod;
					}
				}
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) (f[i][j]+=pre[sum[i-1]]-pre[j-1]+mod)%=mod;
			} else {
				for(int j=1;j<=sum[i-1]+1;j++) {
					if(u[i-1]==0) g[i][j]=f[i-1][0];
					else if(u[i-1]==1) g[i][j]=f[i-1][0]*sum[i-1]%mod;
					else g[i][j]=f[i-1][0]*(sum[i-1]-1)%mod*sum[i-1]%mod;
				}
			}
		} else {
			if(mp[2][i-1]=='x') {
				for(int j=1;j<=sum[i-1];j++) {
					if(u[i-1]==0) {
						(f[i][0]+=f[i-1][j]+g[i-1][j])%=mod;
					} else if(u[i-1]==1) {
						(f[i][0]+=f[i-1][j]*j+g[i-1][j]*(sum[i-1]))%=mod;
					} else {
						(f[i][0]+=f[i-1][j]*j%mod*(j+1)+g[i-1][j]*(sum[i-1])%mod*(sum[i-1]-1))%=mod;
					}
				}
			} else {
				if(u[i-1]==0) f[i][0]=f[i-1][0];
				else if(u[i-1]==1) f[i][0]=f[i-1][0]*sum[i-1]%mod;
				else f[i][0]=f[i-1][0]*(sum[i-1]-1)%mod*sum[i-1]%mod;
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	if(mp[2][n]=='o') {
		if(!u[n]) (ans+=(f[n][0]))%=mod;
		else if(u[n]==1) (ans+=f[n][0]*sum[n])%=mod;
		else (ans+=f[n][0]*(sum[n]-1)%mod*sum[n])%=mod;
	} else {
		for(int i=1;i<=sum[n];i++) {
			if(!u[n]) (ans+=(f[n][i]+g[n][i]))%=mod;
			else if(u[n]==1) (ans+=f[n][i]*i+g[n][i]*sum[n])%=mod;
			else (ans+=f[n][i]*i%mod*(i-1)+g[n][i]*sum[n]%mod*(sum[n]-1))%=mod;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}