不同的子序列 distinct-subsequences(hard)

(忘了,典型)

给定一个字符串 和一个字符串 T,计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指,通过删除一些(也可以不删除)字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。(例如,"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列,而 "AEC" 不是)

示例 1:

输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"
输出: 3
解释:

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案
(上箭头符号 ^ 表示选取的字母) rabbbit
^^^^ ^^
rabbbit
^^ ^^^^
rabbbit
^^^ ^^^
这种dp题目,不看答案一个字都写不出来,看完答案觉得一点都不难,所以一定要记住典型题,比如各种子序列
 
链接:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/ed2923e49d3d495f8321aa46ade9f873
来源:牛客网

我们需要一个二维数组dp(i)(j)来记录长度为i的字串在长度为j的母串中出现的次数,这里长度都是从头算起的,而且遍历时,保持子串长度相同,先递增母串长度,母串最长时再增加一点子串长度重头开始计算母串。

首先我们先要初始化矩阵,当子串长度为0时,所有次数都是1,当母串长度为0时,所有次数都是0.当母串子串都是0长度时,次数是1(因为都是空,相等)。接着,如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母不同,说明新加的母串字母没有产生新的可能性,可以沿用该子串在较短母串的出现次数,所以dp(i)(j) = dp(i)(j-1)。如果子串的最后一个字母和母串的最后一个字母相同,说明新加的母串字母带来了新的可能性,我们不仅算上dp(i)(j-1),也要算上新的可能性。那么如何计算新的可能性呢,其实就是在既没有最后这个母串字母也没有最后这个子串字母时,子串出现的次数,我们相当于为所有这些可能性都添加一个新的可能。所以,这时dp(i)(j) = dp(i)(j-1) + dp(i-1)(j-1)。下图是以rabbbit和rabbit为例的矩阵示意图。计算元素值时,当末尾字母一样,实际上是左方数字加左上方数字,当不一样时,就是左方的数字。

示意图

 
class Solution {
public:
    int numDistinct(string S, string T) 
    {
        int m = T.length();
        int n = S.length();
        int ** dp = new int*[m+1];
        for (int i = 0; i < m+1; i++)
            dp[i] = new int[n+1];
        for (int j = 0; j < n; j++)
            dp[0][j] = 1;
        
        for (int i = 1; i < m+1; i++)
        {
            for (int j = 1; j < n+1; j++)
            {
                if (S[j-1] == T[i-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1];
                else
                    dp[i][j] = dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
 

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