C语言程序设计100例之（8）：尼科彻斯定理

例8 尼科彻斯定理

题目描述

尼科彻斯定理可以叙述为：任何一个整数的立方都可以表示成一串连续的奇数的和。需要注意的是，这些奇数一定是连续的，如：1，3，5，7，9，…。

例如，对于整数5，5*5*5=125=21+23+25+27+29。

对于整数6，216=31+33+35+37+39+41，

也可以表示为216=7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29。

请你编写程序对这个定理进行验证。

输入格式

一个整数n（2≤n≤1000）。

输出格式

将n的立方表示为一串连续的奇数的和，具体格式见输出样例。若有多种表示方式，任意输出一种即可。

输入样例

输出样例

29*29*29=24389=813+815+817+819+821+823+825+827+829+831+833+835+837+839+841+843+845+847+849+851+853+855+857+859+861+863+865+867+869

（1）编程思路1。

先计算输入数n的立方num，然后从1（用变量i记录）开始累计和sum，累计每次j加2保证下个数也为奇数，如果累加和sum大于立方数num时，跳出本次循环，进行下一次的尝试（i=3或5、7、…开始累积和）。当找到后，记录开始位置（即i），结束位置（即j），输出。

程序写成一个嵌套的二重循环。外循环i控制累计和的起点，内循环累计i、i+2、i+4、…的和。

（2）源程序1。

#include<stdio.h>

int main()

{

int n,num,sum,i,j,k,flag;

while(1)

{

scanf("%d",&n);

if(n==0) break;

num = n * n * n;

flag=0;

for(i=1; i<num && flag==0; i=i+2)

{

sum=0;

for(j=i; j<num; j=j+2)

{

sum += j;

if(sum == num)

{

printf("%d*%d*%d=%d=%d",n,n,n,num,i);

for (k=i+2; k<=j;k+=2)

printf("+%d",k);

printf("\n");

flag=1;

break;

}

else if (sum > num)

break;

}

return 0;

}

（3）编程思路2。

源程序1的思路是通过试探的方法来验证尼科彻斯定理，采用二重循环实现。

实际上，n的立方一定可以表示为一个等差数列的各项和，该等差数列的首项为n*n-n+1，公差为2，项数为n。

按等差数列的求和公式知该数列的和为：

[(n*n-n+1)+( n*n-n+1)+ 2 (n-1)]*n/2 =n*n*n

因此，直接用循环输出这个等差数列的各项即可。

（4）源程序2。

#include<stdio.h>

int main()

{

int n,a,i;

while(1)

{

scanf("%d",&n);

if(n==0) break;

// 输出等差数列，首项为n*n-n+1，公差为2，项数为n

a=n*n-n+1;

printf("%d*%d*%d=%d=%d",n,n,n,n*n*n,a);

for (i=1; i<n;i++)

printf("+%d",a+i*2);

printf("\n");

}

return 0;

}

习题8

8-1 谷角猜想

题目描述

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ；若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

请你编写程序对这个猜想进行验证。

输入格式

一个自然数n。

输出格式

把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程输出。具体格式见输出样例。

输入样例

输出样例

34/2=17

17*3+1=52

52/2=26

26/2=13

13*3+1=40

40/2=20

20/2=10

10/2=5

5*3+1=16

16/2=8

8/2=4

4/2=2

2/2=1

（1）编程思路。

定义迭代变量为n，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时，n=n/2 ；当 n 为奇数时， n=n*3+1 。

这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。由于对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，从而完成验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n==1 。

（2）源程序。

#include<stdio.h>

int main()

{

unsigned int data;

scanf("%d",&data);

while(data!=1)

{

if((data%2==0))

{

printf("%d/2=%d\n",data,data/2);

data/=2;

}

else

{

printf("%d*3+1=%d\n",data,data*3+1);

data=data*3+1;

}

return 0;

}

8-2 四方定理

题目描述

数论中著名的“四方定理”是：所有自然数至多只要用四个不小于0的整数的平方和就可以表示。

编写一个程序验证此定理。

输入格式

一个自然数n。

输出格式

把自然数 n 表示为四个数的平方和。具体格式见输出样例。

输入样例

147

输出样例

7*7+7*7+7*7+0*0=147

8*8+7*7+5*5+3*3=147

9*9+5*5+5*5+4*4=147

9*9+7*7+4*4+1*1=147

9*9+8*8+1*1+1*1=147

11*11+4*4+3*3+1*1=147

11*11+5*5+1*1+0*0=147

12*12+1*1+1*1+1*1=147

（1）编程思路。

对于待验证的自然数n，用四个变量i、j、k、l采用试探的方法，穷举进行计算，满足要求（i *i + j * j + k * k + l * l == n）时输出计算结果。

在穷举时，不妨设i≥j≥k≥l。因此，穷举的范围可确定为：

1 ≤ i ≤ n/2

0 ≤ j ≤ i

0 ≤ k ≤ j

0 ≤ l ≤ k

（2）源程序。

#include<stdio.h>

int main()

{

int n,i,j,k,l;

scanf("%d",&n);

for (i = 1; i <= n/2; i++) // 对i，j，k，l进行穷举

for (j = 0; j <= i; j++)

for (k = 0; k <= j; k++)

for (l = 0; l <= k; l++)

if (i *i + j * j + k * k + l * l == n)

{

printf("%d*%d+%d*%d+%d*%d+%d*%d=%d\n",i,i,j,j,k,k,l,l,n);

}

return 0;

}

8-3 卡布列克运算

问题描述

所谓卡布列克运算，是指任意一个四位数，只要它们各个位上的数字不全相同，就有这样的规律：

（1）把组成这个四位数的四个数字由大到小排列，形成由这四个数字构成的最大的四位数；

（2）把组成这个四位数的四个数字由小到大排列，形成由这四个数字构成的最小的四位数（如果四个数字中含有0，则此数不足四位）；

（3）求出以上两数之差，得到一个新的四位数。

重复以上过程，总能得到最后的结果是 6174。

例如，n= 3280，验证结果为：8320-238=8082 8820-288=8532 8532-2358=6174

编写一个程序对卡布列克运算进行验证。

输入数据

一个各位上的数字不全相同的四位数n。

输出要求

把 n 经过有限次卡布列克运算后，最终变成6174的全过程输出。具体格式见输出样例。

输入样例

2019

输出样例

9210-129=9081

9810-189=9621

9621-1269=8352

8532-2358=6174

YES

（1）编程思路。

为实现验证程序，编写4个函数。

void parse_sort(int each[],int num) 将num分解为各位数字并排序后存入数组each[]中。

int minD(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最大数。

int maxD(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最小数。

int pow10_int(int n) 求10的N次方。

（2）源程序。

#include <stdio.h>

#define N 4

int pow10_int(int n); // 求10的N次方

void parse_sort(int each[],int num); // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中

int minD(int each[]); // 求数组each可组成的最大数

int maxD(int each[]); // 求数组each可组成的最小数

int main()

{

int number,max,min;

int each[N];

scanf("%d",&number);

while(number!=6174)

{

parse_sort(each,number);

max=maxD(each);

min=minD(each);

number=max-min;

printf("%d-%d=%d\n",max,min,number);

}

printf(" YES\n");

return 0;

}

int pow10_int(int n) // 求10的N次方的函数

{

int sum=1;

for(int i=0;i<n;i++)

sum=sum*10;

return sum;

}

void parse_sort(int each[],int num) // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中

{

int m,i,j,t;

for (i=0;i<N;i++)

each[i]=0;

i=0;

while(num!=0)

{

m=num%10; num=num/10;

each[i++]=m;

}

for(i=0;i<N-1;i++)

for (j=0;j<N-1-i;j++)

if (each[j]>each[j+1])

{

t=each[j];

each[j]=each[j+1];

each[j+1]=t;

}

int minD(int each[]) // 求数组each可组成的最大数

{

int sum=0,i;

for(i=0;i<N;i++)

sum+=each[i]*pow10_int( (N-1-i) );

return sum;

}

int maxD(int each[]) // 求数组each可组成的最小数

{

int sum=0,i;

for(i=0;i<N;i++)

sum=sum+each[i]*pow10_int(i);

return sum;

}