题意

解下列方程

\((x+y) \equiv b \ mod \ p\)

\((x\ *\ y) \equiv c \ mod \ p\)

题解

\(y = b-x\) 带入二式

\(x * (b-x) \equiv c \ mod \ p\)

\(bx - x^2 =c + kp\)

\(x^2 - bx + c + kp = 0\)

解得\(x = \frac{b \ \pm \ \sqrt{b^2 - 4c+kp} }{2}\)

要使\(x\)为整数则\(\sqrt{b^2 - 4c+kp}\)要为整数

令\(z = \sqrt{b^2 - 4c+kp}\)

\(z^2 = b^2 - 4c+kp\)

\(z^2 \equiv \ b^2 - 4c \ mod \ p\)

问题就变成了二次剩余

先判断是否有解也就是\(b^2-4c\)是否是\(p\)的二次剩余

利用欧拉准则:当且仅当\(d^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \ mod \ p\),\(d\)为\(p\)的二次剩余

当且仅当\(d^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \ mod \ p\),\(d\)为\(p\)的非二次剩余

接下来套二次剩余板子求\(z\)即可,有一种特殊情况当\(p \ \% \ 4 = 3\)时可以用公式\(z = d^{\frac{p+1}{4}} \% \ p\)快速求解

现在\(x = \frac{b + z}{2}, y = \frac{b - z}{2}\),可能不是整数,我们对x和y都乘上一个偶数(p+1)就可以保证x,y是整数且仍然满足题目的两个方程,因为

\((x+y)*(p+1) \ \%\ p =(x+y) \% p\ *\ (p+1) \% p = b*1 = b\)

\(x*(p+1)*y*(p+1)\%p = (x*y)\%p\ *\ (p^2+2p+1)\%p = c*1 = c\)

*顺带扒了一下咖啡鸡的板子

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9+7; ll pow_mod(ll a, ll b) {
ll ans = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b /= 2;
}
return ans;
} int main() {
int T;
scanf("%d", &T); while (T--) {
ll b, c;
scanf("%lld%lld", &b, &c);
ll t = ((b*b - 4*c) % mod + mod) % mod;
if (pow_mod(t, (mod-1)/2) == mod-1) puts("-1 -1");
else {
ll z = pow_mod(t, (mod+1)/4);
ll x = ((b + z) % mod + mod) % mod;
ll y = ((b - z) % mod + mod) % mod;
x = x * (mod+1) / 2 % mod;
y = y * (mod+1) / 2 % mod;
if (x > y) swap(x, y);
printf("%lld %lld\n", x, y);
}
}
return 0;
}

二次剩余模板

//调用solve(d, p)返回x
mt19937_64 gen(time(0));
struct T{ll x,y;};
ll w;
T mul_two(T a,T b,ll p){
T ans;
ans.x=(a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p;
ans.y=(a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p;
return ans;
} T qpow_two(T a,ll n,ll p){
T ans;
ans.x=1;
ans.y=0;
while(n){
if(n&1) ans=mul_two(ans,a,p);
n>>=1;
a=mul_two(a,a,p);
}
return ans;
} ll qpow(ll a,ll n,ll p){
ll ans=1;
a%=p;
while(n){
if(n&1) ans=ans*a%p;
n>>=1;
a=a*a%p;
}
return ans%p;
} ll Legendre(ll a,ll p){
return qpow(a,(p-1)>>1,p);
} int solve(ll n,ll p){
if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if(Legendre(n,p)+1==p) return -1;
ll a,t;
while(1){
a=gen()%p;
t=a*a-n;
w=(t%p+p)%p;
if(Legendre(w,p)+1==p) break;
}
T tmp;
tmp.x=a;
tmp.y=1;
T ans=qpow_two(tmp,(p+1)>>1,p);
return ans.x;
}

B-Quadratic equation_2019牛客暑期多校训练营(第九场)的更多相关文章

  1. 2019牛客暑期多校训练营(第九场) D Knapsack Cryptosystem

    题目 题意: 给你n(最大36)个数,让你从这n个数里面找出来一些数,使这些数的和等于s(题目输入),用到的数输出1,没有用到的数输出0 例如:3  4 2 3 4 输出:0 0 1 题解: 认真想一 ...

  2. 2019牛客暑期多校训练营(第二场) H-Second Large Rectangle(单调栈)

    题意:给出由01组成的矩阵,求求全是1的次大子矩阵. 思路: 单调栈 全是1的最大子矩阵的变形,不能直接把所有的面积存起来然后排序取第二大的,因为次大子矩阵可能在最大子矩阵里面,比如: 1 0 0 1 ...

  3. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 K Keyboard Free 积分 期望 数学

    LINK:Keyboard Free 我要是会正经的做法 就有鬼了. 我的数学水平没那么高. 三个同心圆 三个动点 求围成三角形面积的期望. 不会告辞. 其实可以\(n^2\)枚举角度然后算出面积 近 ...

  4. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 J Just Shuffle 置换 群论

    LINK:Just Shuffle 比较怂群论 因为没怎么学过 置换也是刚理解. 这道题是 已知一个置换\(A\)求一个置换P 两个置换的关键为\(P^k=A\) 且k是一个大质数. 做法是李指导教我 ...

  5. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 I Interval 最大流 最小割 平面图对偶图转最短路

    LINK:Interval 赛时连题目都没看. 观察n的范围不大不小 而且建图明显 考虑跑最大流最小割. 图有点稠密dinic不太行. 一个常见的trick就是对偶图转最短路. 建图有点复杂 不过建完 ...

  6. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 C Cover the Tree 构造 贪心

    LINK:Cover the Tree 最受挫的是这道题,以为很简单 当时什么都想不清楚. 先胡了一个树的直径乱搞的贪心 一直过不去.后来意识到这类似于最经典长链剖分优化贪心的做法 然后那个是求最大值 ...

  7. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 B Boundary 计算几何 圆 已知三点求圆心

    LINK:Boundary 计算几何确实是弱项 因为好多东西都不太会求 没有到很精通的地步. 做法很多,先说官方题解 其实就是枚举一个点 P 然后可以发现 再枚举一个点 然后再判断有多少个点在圆上显然 ...

  8. 2020牛客暑期多校训练营 第二场 A All with Pairs 字符串hash KMP

    LINK:All with Pairs 那天下午打这个东西的时候状态极差 推这个东西都推了1个多小时 (比赛是中午考试的我很困 没睡觉直接开肝果然不爽 一开始看错匹配的位置了 以为是\(1-l\)和\ ...

  9. 2019牛客暑期多校训练营(第五场)G - subsequeue 1 (一题我真的不会的题)

    layout: post title: 2019牛客暑期多校训练营(第五场)G - subsequeue 1 (一题我真的不会的题) author: "luowentaoaa" c ...

随机推荐

  1. Python3的日志添加功能

    python日志添加功能,主要记录程序运行中的日志,统一收集并分析 一.日志的级别 debug(调试信息) info() warning(警告信息)error(错误信息) critical(致命信息) ...

  2. JS-对象中写方法

  3. Keil uVision4 ——如何新建一个项目

    一.打开Keil4软件,点击Project,再点击New μVision Projrct. 二.新建一个文件夹,并在里面输入这个项目的名字. 三.点击Intel,根据实际情况选择,这里选择的是80/8 ...

  4. linux自学

    Linux文件与目录管理   所有不太会的命令,可以用man +命令,查看相关解释文档   绝对路径:从根路径写起的路径,/usr/local 相对路径:例如:路径a:~/demo/test  路径b ...

  5. Wtm携手LayUI -- .netcore 开源生态我们是认真的!

    经过WTM团队和LayUI团队多次深入协商,双方于2019年7月29日在北京中国国际展览中心正式达成战略合作意向, 双方签署了战略合作框架协议,LayUI团队承诺使用WTM框架的任何项目都可以免费使用 ...

  6. dotnetcore 与 hbase 之一——hbase 环境准备

    转载请注明出处www.cnblogs.com/hsxian! 总述 这是一系列针对 .net core (c#) 读取 hbase 的教程.本人苦于找不到 c#的原生 hbase 客户端,多番寻觅之下 ...

  7. MySQL高速缓存

    MySQL高速缓存启动方法及参数详解query_cache_size=32M query_cache_type=1,默认配置下,MySQL的该功能是没有启动的,可能你通过show variables ...

  8. 如何获取app中的toast

    前言 Toast是什么呢?在这个手机飞速发展的时代,app的种类也越来越多,那们在日常生活使用中,经常会发现,当你在某个app的输入框输入非法字符或者非法执行某个流程时,经常看到系统会给你弹出一个黑色 ...

  9. 网络编程网络协议篇(osi七层协议)

    一 互联网的本质 咱们先不说互联网是如何通信的(发送数据,文件等),先用一个经典的例子,给大家说明什么是互联网通信. 现在追溯到八九十年代,当时电话刚刚兴起,还没有手机的概念,只是有线电话,那么此时你 ...

  10. MacOS VSCode 安装 GO 插件失败问题解决

    0x00 问题重现 Installing golang.org/x/tools/cmd/guru FAILED Installing golang.org/x/tools/cmd/gorename F ...