LaTeX常用篇(二)---上下标/分式/根式/求和/连乘/极限/积分/希腊字母

更新时间：2019.10.27

增加补充项中的内容

1. 序言
2. 上下标
3. 分式
4. 根式
5. 求和和连乘
6. 极限
7. 积分
8. 常用的希腊字母
9. 补充项

1. 序言

之前总结了一下latex的公式输入。但是俗话说得好，巧妇难为无米之炊。如果想要输入复杂的数学公式，光知道公式输入的方式是远远不够的，我们还需要了解公式中常用的组成部分。

2. 上下标

数学公式中的字母经常是带上标（幂/转置/导数等）和下标（矩阵元素位置/参数个数等）的，而用latex解决这个问题十分简单。可以使用^表示上标，使用_表示下标。当然要值得注意的是，当上下标的有多个（2个及以上）字符时，要用{}括起来。

<!--来直接看几个例子-->

$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2$$

$$a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0$$

显示效果：

\[Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2^2
\]

\[a_{11} + a_{12}^2 + a_{13}^3 = 0
\]

tip1：有时我们想使用的标记在字母的正上方，例如$\bar X$。这种无法直接用上下标来表示，需要使用其他的方法。
tip2：在这里列举一些常用的用法：
- $\bar X$(X拔)的表示方法是： $\bar X$ ，这个通常是用来表示变量的均值
- $\hat Y$(Y帽)的表示方法是： $\hat Y$ ，这个通常是用来表示变量的预测值
- $\underline X$的表示方式是： $\underline X$ ，可以用来表示下限
- 还有其他像$\widetilde X$的表示方式是： $\widetilde X$
tip3：例子中使用了一些希腊字母，可以直接跳转到下面进行查看常用的希腊字母

3. 分式

直接使用\frac{}{}来表示分式，其中第一个{}表示分子，第二个{}表示分母

$$f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}$$

显示效果：

\[f(x, y) = \frac{x + y}{x - y}
\]

4. 根式

直接使用sqrt[]{}来表示分式，其中[]用来放开方的次数，{}用来放要被开方的公式

$$f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}$$

显示效果：

\[f(x, y) = \sqrt[n]{\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}}
\]

5. 求和和连乘

对于连加的情况，我们通常使用$\sum$来表示。它的使用用法也很简单，但是通常都要添加上下标，像 $\sum_{}^{}$ 形式。除了连加，我们有时也使用连乘，虽然没有连加使用得多（连乘都能通过对数写成连加），它只要以 $\prod_{}^{}$ 的形式表示。

<!--连加-->

$$\sum_{i = 1}^{n}x_i$$

<!--连乘-->

$$\prod_{i = 1}^{n}x_i$$

显示效果：

\[\sum_{i = 1}^{n}x_i
\]

\[\prod_{i = 1}^{n}x_i
\]

tip1：在latex中，默认情况下行内公式都是显示像$\sum_{i=1}^na_{ij}$的效果，如果想要这样的效果$\displaystyle\sum_{i=1}^na_{ij}$，就需要在前面加上\displaystyle，来重新看一下下面的例子：

<!--连加-->

$\sum_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$

<!--连乘-->

$\prod_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$

显示效果：

$\sum_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}x_i$

$\prod_{i = 1}^{n}x_i$

$\displaystyle\prod_{i = 1}^{n}x_i$

6. 极限

还记得高数里极限的符号吗。在latex中的极限表示，也直接使用\lim这个我们时常看到的符号。当然极限通常都是带下标的，所以更多的是使用lim_{}的形式。

<!--来看看两个重要极限-->

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$$

显示效果：

\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1
\]

\[\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e
\]

tip1：右箭头$\rightarrow$的表示方式为 $\rightarrow$ ，左箭头$\leftarrow$的表示方式是 $\leftarrow$
tip2：正无穷$+ \infty$的表示方式为 $+ \infty$ ，负无穷$- \infty$的表示方式是 $- \infty$

7. 积分

如果想要输入积分，则需要使用\int_{}^{}来表示

$$\int_0^1 x^2 dx$$

<!--来看一个更加复杂的例子-->

<!--正态分布的分布函数-->

$$F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx$$

显示效果：

\[\int_0^1 x^2 dx
\]

\[F(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} dx
\]

8. 常用的希腊字母

有时我们的公式里会包含一些希腊字母，而在latex中，其实只要会读希腊字母基本就会写出来。下面总结一些常用的希腊字母：

希腊字母	对应的代码	希腊字母	对应的代码
$\alpha$	$\alpha$	$\mu$	$\mu$
$\beta$	$\beta$	$\sigma$	$\sigma$
$\gamma$	$\gamma$	$\varepsilon$	$\varepsilon$
$\theta$	$theta$	$\chi$	$\chi$
$\zeta$	$\zeta$	$\tau$	$\tau$
$\eta$	$\eta$	$\rho$	$\rho$
$\xi$	$\xi$	$\psi$	$\psi$
$\pi$	$\pi$	$\phi$	$\phi$

9. 补充项

9.1 波浪线的表示

可以使用 $\sim$ 来表示波浪线

$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$

显示效果：

$\varepsilon \sim N(0, \sigma^2I_n)$

9.2 求导

使用 $\mathrm{d}$ 来表示求导符号， $\partial$ 来表示求偏导

$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$

<!--直接用d来表示求导符的效果-->

$\frac {dL(\beta)}{\beta}$

<!--偏导-->

$\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$

显示效果：

$\frac {\mathrm{d}L(\beta)}{\beta}$

$\frac {dL(\beta)}{\beta}$

$\frac {\partial L(\beta_0, \beta_1)}{\partial \beta_0}$

9.3 垂直和平行符号

垂直：使用\$perp$，效果为$\perp$
平行：可以直接用//或 $//$ ，也可以使用 $\parallel$ ，不过这个是显示竖直的形式||

$//$

$\parallel$

显示效果：

$//$

$\parallel$

9.4 把符号放在正下方

有时我们需要把文本放在正下方，这是我们就可以使用 $\underset$ ，有时也可以使用 $\limits$

$$\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)$$

$$\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)$$

显示效果：

\[\hat \beta = \underset{\beta}{\arg \min} L(\beta)
\]

\[\hat \beta = \arg \min \limits_{\beta} L(\beta)
\]

9.5 集合

<!--真包含-->

$$\subset$$

<!--包含-->

$$\subseteq$$

<!--属于和不属于-->

$$\in$$

$$\notin$$

<!--交集和并集-->

$$\cap$$

$$\cup$$

<!--其他-->

$$\mid$$

$$\supset$$

显示效果：

\[\subset
\]

\[\subseteq
\]

\[\in
\]

\[\notin
\]

\[\cap
\]

\[\cup
\]

\[\mid
\]

\[\supset
\]

9.6 成正比

使用 $\propto$ 来表示

$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$

显示效果：

$f(\beta|X) \propto f(\beta) f(X|\beta)$