Dijkstra堆优化+邻接表
part 1.Dijkstra算法是干嘛的
Dijkstra 算法用于求图中任意两点之间的最短路径,或任意一点到其他到其他所有点的最短路径,即单源最短路。Dijkstra 算法只适用于所有边权都为非负数的图,如果边权为负,Dijkstra 算法就无能为力了。
part 2.算法流程
这里用邻接矩阵存图。
将图分为两个集合:已知最短路成的定点集合 \(P\) 和未知最短路径的集合 \(S\)。用一个
book[]
数组记录那些点在集合 \(P\) 中,book[i]=true
表示点 \(i\) 在集合中,book[i]=false
表示点 \(i\) 不在集合中。将源点 \(d\) 到自己的最短路径设为 \(0\),其余的设为 \(\infty\)。这里用
dis[i]
表示点 \(d\) 到点 \(i\) 的最短路径,同时将源点 \(d\) 加入到集合 \(P\) 中。(1)每次在集合S中选择一个里源点最近(即
dis[i]
最小)的点 \(i\),将 \(i\) 加入集合 \(P\)(即book[i]=true
)。(2)同时考查每一条与 \(i\) 有边相连的点 \(v\),看看能否通过点 \(i\) 将 \(d\) 到 \(v\) 的距离缩短(即dis[v]=min(dis[v],dis[i]+e[i][v])
)(也就是松弛)。重复第3步,当集合 \(S\) 为空时,算法结束。
code:
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 2147483647
int dis[1005],e[1005][1005];
bool book[1005];
int main()
{
int n,m,i,j,u,v,minh,s,a,b,c;
cin>>n>>m>>s;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(i!=j)
e[i][j]=inf;
for(i=1;i<=m;i++)
{
cin>>a>>b>>c;
if(a!=b) e[a][b]=c;
}
for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=e[s][i];
book[s]=true;//2
for(i=1;i<=n-1;i++)
{
minh=inf;
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(dis[j]<minh&&book[j]==false)
{
minh=dis[j];
u=j;//3(1)
}
}
book[u]=true;
for(v=1;v<=n;v++)//3(2)
if(e[u][v]<inf)
if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
dis[v]=dis[u]+e[u][v];
}
for(i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<" ";
return 0;
}
part 3.还能再优化吗
上述流程的时间复杂度为 \(\mathcal O(n^2)\),如果 \(n\) 大一点,那么就会T飞。
注意到步骤3(2)之和与 \(i\) 周围的边的点松弛,于是我们就可以用邻接表存图,优化算法的常数。
观察到步骤3(1)每次一个一个寻找距离最小的点非常耗时间,于是我们就用一个优先队列来实时存最小的点。(详见代码)
这样就可以将时间复杂度优化到 \(\mathcal O((m+n)\log n)\)。
code:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=100010,M=100010;//N:点数,M:边数
int head[N],ver[M],edge[M],nxt[M],dis[N];
bool book[N];
int n,m,tot;
priority_queue<pair<int,int> > que;//第一维:距离,第二维:编号
void add(int x,int y,int z)//构建邻接表
{
ver[++tot]=y;
edge[tot]=z;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void Dijkstra()
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(book,0,sizeof(book));
dis[1]=0;
que.push(make_pair(0,1));
while(que.size())
{
int x=que.top().second; que.pop();
if(book[x]) continue;
book[x]=true;//标记
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i],z=edge[i];
if(dis[y]>dis[x]+z)
{
dis[y]=dis[x]+z;
que.push(make_pair(-dis[y],y));
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
}
Dijkstra();
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
return 0;
}
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