Stirling数入门
第一类Stirling数
定义
$$
\begin{aligned}
(x)_n & =x(x-1)...(x-n+1)\\
&= s(n, 0) + s(n,1)x +..+s(n,n)x^n\\
\end{aligned}$$
例如,$n=3$ 时,
$(x)3 = x(x-1)(x-2)$
$(x)3 = x^0 + 2x -3x^2 + x^3$
于是 $s(3,0)=0,s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1$
有符号斯特林数和无符号斯特林数有如下关系:
$$s(n, k) = (-1)^{n-k}\begin{bmatrix} n\\ k \end{bmatrix}$$
下文的 $s(n, k)$ 都是指的无符号的了。
理解
$n$ 个人围着 $k$ 个相同圆桌,每个桌子非空的方案数就是 $s(n, k)$。
也就是将 $n$ 个不同元素分成 $k$ 组,每组中的元素再进行圆排列的方法数。
例如,$s(4, 2) = 11$
- (A,B)(C,D)
- (A,C)(B,D)
- (A,D)(B,C)
- (A)(B,C,D)
- (A)(B,D,C)
- (B)(A,C,D)
- (B)(A,D,C)
- (C)(A,B,D)
- (C)(A,D,B)
- (D)(A,B,C)
- (D)(A,C,B)
易得一个递推式,
人a独占一桌:$s(n-1, k-1)$
人a不独占一桌:先将 $n-1$ 个人安排好,再将a安排到任一人的右边,$(n-1)*s(n-1, k)$
所以,$s(n, k) = s(n-1. k-1) + (n-1)*s(n-1, k)$
第二类Stirling数
定义
与第一类Stirling数类似,可以用下降阶乘幂定义:
$$x^n = \sum_{k=0}^ns(n, k)(x)_k$$
例如,$n=3$ 时
$$x^3 = s(3, 0)(x)_0 + s(3,1)(x)_1 + s(3,2)(x)_2+s(3,3)(x)_3$$
即 $x^3 = s(3, 0) + s(3,1)x + s(3,2)x(x-1)+s(3,3)x(x-1)(x-2)$
开并合并同类项,得
$$x^3 = s(3,0) + [(3,1)-s(3,2)+2s(3,3)]x + [s(3,2)-3s(3,3)]x^2 + s(3,3)x^3$$
对比系数,解得
$s(3,0)=0, s(3,1)=1,s(3,2)=3,s(3,3)=1$
理解
将含有 $n$ 个元素的集合拆分成 $k$ 个非空子集的方法数就是第二类Stirling数。
也就是将 $n$ 个有区别的球放到 $k$ 个盒子里的方案数。
例如,$s(4,2)=7$(自行前前面对比),
- (A,B)(C,D)
- (A,C)(B,D)
- (A,D)(B,C)
- (A)(B,C,D)
- (B)(A,C,D)
- (C)(A,B,D)
- (D)(A,B,C)
也与第一类Stirling数有类似的递推式(初始条件都相同):
$$s(n, m) = s(n-1, m-1) + m*s(n-1, m)$$
证:
等价于将 $n$ 个有区别的球放到 $k$ 个盒子里的方案数,
若球a独占一盒,$s(n-1, m-1)$
若球a不独占一盒,先将剩下的 $n-1$ 个放入 $m$ 个盒子中且不允许有空盒,再将球a放入其中一盒,$ms(n-1, m)$.
补充:
参考链接:
1.https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/50876786
2. https://zh.wikipedia.org/wiki/斯特林数
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