均分纸牌(Noip2002)

1320：【例6.2】均分纸牌(Noip2002)

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【题目描述】

有n堆纸牌，编号分别为 1，2，…, n。每堆上有若干张，但纸牌总数必为n的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为1的堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 n 的堆上取的纸牌，只能移到编号为n-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 n=4，4堆纸牌数分别为：  ①　9　②　8　③　17　④　6

移动3次可达到目的：

从 ③ 取4张牌放到④（9 8 13 10）->从③取3张牌放到 ②（9 11 10 10）-> 从②取1张牌放到①（10 10 10 10）。

【输入】

n（n 堆纸牌，1 ≤ n ≤ 100）

a1 a2 … an （n 堆纸牌，每堆纸牌初始数，l≤ ai ≤10000）。

【输出】

所有堆均达到相等时的最少移动次数。

【输入样例】

4
9 8 17 6

【输出样例】

3
 
例题不怎么详的解：
前辈们告诉我们，OI的很多题目想要解出来是需要很多奇巧淫技的，多积累点奇怪的思路和技巧，不仅对提升成绩有帮助，还对自己大脑开发有好处（一本正经）。
 
实际上很多OI题都要靠奇葩的技巧，就像其他学科竞赛那样。。。

这一题也是如此。
很多人一上来看到这题目就直接懵逼了，没有头绪，难不成让我用搜索做？
于是乎玄乎的来了，我们代入一点逆向的思想，分析输入数据和输出数据的关系，震惊地发现原来所有牌堆中牌的总数平分到每一个堆中（即平均值）就是最后均分的结果，也照应了题目。
好吧我承认这很容易想出来，因为题目给出的暗示很明显：

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。
 
好的，我实力眼瞎没看到，刚看到这道题我差点就去搜索了。。。所以说啊，认真看题无论在哪里都是第一要素！！！
 
算法分析:
回到正题，给出的n堆纸牌中，由于分配不均，肯定存在牌数最多的一堆，我们就从这里开始。经过简单分析，因为题目只允许将中间牌堆上的牌放到左右两边，得出以下参考思路：
 
我们将所有牌的数量除以总堆数的结果称为平均值；
我们将某一堆上牌的总数与平均值之差称为需求值；
 
找到牌数最多的牌堆，将牌分成两部分，一部分的数量是该堆左边每堆牌需求值总和，另一部分的数量是右边每堆牌需求值总和，然后分别放置到左右两边。
向左右两边继续执行这样的操作，由于已经执行过的部分已经达到平均值，无需改变，所以这种算法具有无后效性，只需将最中间的牌向两边摊开就行。
 
这时我突然意识到一个问题，如果用这种思路设计算法，那么代码设计会相对繁琐，因为要实现规划左右两段的功能，于是竞赛书上的写法使我虎躯一震，真的没想到还有这种操作，果然竞赛靠的还是一个巧。
那就是:
 
假设一组牌堆，3 7 17 13，写成需求值的形式是-7 -3 7 3，我们把 -7 移到 -3 里去，把 -7 变成 0，-3 变成 -10（相当于-3那一堆挪7张牌到-7那一堆，但是可以在算法中写成此种形式），
-10 再移到 7 里去，7 变成 -3，最后把 -3 移到 3 里去，大功告成。
 
很明显这种思路比我的思路要来的简单一些，代码量更少，那么我就只分析这种算法（其实是我懒）。
 
设置一个关键数组a，储存所有牌堆的牌数。
设置一个变量avg，储存均值。
设置一个变量tot，储存移动总步骤。

我们首先要将需求值计算出来放进一个数组，我嫌麻烦，所以将数组a再次利用了一次，将需求值覆盖原数组。
接下来就是算法核心部分的编写，我们需要遍历一遍数组，执行上面那个思路：

for(int t=i;t<j;t++)
	{
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}

　这就是核心代码，很简单，不过有些细节还要处理。

注意：要 素 察 觉，如果开头和结尾的牌堆的需求值为0，那么此牌堆无需移动。正确姿势应该是从第一个需求值不为0的牌堆移动到最后一个需求值不为0的牌堆。
而且，在移动过程中如果出现恰好前后两牌堆需求值合并得到的值为0的情况，可以跳过一步，相当于遍历到此牌堆时，前面的需求值恰好抵消，等同于已经完成了一轮均分。
因此，现在需求值为0的那个牌堆不需要再移动。
得到如下代码：

　　　   i=0;j=n-1;
	while(a[i]==0&&i<n) i++;
	while(a[j]==0&&j>1) j--;
	for(int t=i;t<j;t++)
	{
		if(a[t]==0) continue;
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}

样例代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int avg=0,n,a[101],i,tot=0,j;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		 scanf("%d",&a[i]);
		 avg+=a[i];
	}
	avg/=i;
	for(j=0;j<n;j++) a[j]-=avg;
	i=0;j=n-1;
	while(a[i]==0&&i<n) i++;
	while(a[j]==0&&j>1) j--;
	for(int t=i;t<j;t++)
	{
		if(a[t]==0) continue;
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}
	printf("%d",tot);
	return 0;
}

　　2019-02-08 19:36:03