LOJ2434. 「ZJOI2018」历史 [LCT]

LOJ

思路

第一眼看似乎没有什么思路，试着套个DP上去：设\(dp_x\)表示只考虑\(x\)子树，能得到的最大答案。

合并的时候发现只有\(x\)这个点有可能做出新的贡献，而做出新贡献的时候必然是两个来自不同子树的国家发生战争。

于是做法突然就明朗了起来：对于每个点\(x\)，记\(s\)表示子树内的崛起次数、\(p\)表示最大子树的崛起次数（也有可能是\(x\)自己），那么它对答案的贡献就是

\[\min(s-1,2(s-p))
\]

为什么？其实就是用其他子树消耗最大子树的一个过程。

考虑修改的时候会发生什么。我们会影响\(x\)到根的一条链，链上面的\(s\)加1，而\(p\)暂时还不知道。

我们令\(s-1>2(s-p)\)，得到\(2p>s+1\)。

这时，我们令满足那个条件的儿子作为自己的重儿子，发现重儿子只有一个，并且如果自己和重儿子都在那条链上，那么重儿子一定不会变，答案也不变。只有这条链越过一条轻边的时候才有可能改变答案。

我们还发现一个点到根的轻边条数是\(O(\log n)\)的。

于是这就是一个动态改变轻重边的事情，用LCT维护。

复杂度不知道？反正不会超过\(O(n\log^2 n)\)，并且似乎跑得还挺快。

代码

注意access操作里面有一些分类讨论的细节，我漏了第129行结果调了1h……

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 404004
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
    }
    void file()
    {
        #ifdef NTFOrz
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifndef ONLINE_JUDGE
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,m;
ll a[sz];
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

int fa[sz],ch[sz][2];
ll s[sz],size[sz];
#define ls ch[x][0]
#define rs ch[x][1]
void pushup(int x){size[x]=size[ls]+size[rs]+s[x]+a[x];}
int get(int x){return ch[fa[x]][1]==x;}
int nroot(int x){return ch[fa[x]][0]==x||ch[fa[x]][1]==x;}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],k=get(x),w=ch[x][!k];
	if (nroot(y)) ch[z][get(y)]=x;ch[x][!k]=y;ch[y][k]=w;
	if (w) fa[w]=y;fa[y]=x;fa[x]=z;
	pushup(y),pushup(x);
}
void splay(int x){for (int y;y=fa[x],nroot(x);rotate(x)) if (nroot(y)) rotate(get(x)==get(y)?y:x);}

ll ans;

int type[sz];
#define v edge[i].t
void dfs(int x,int f)
{
	ll mx=a[x];int son=x;
	go(x) if (v!=f)
	{
		dfs(v,x);
		size[x]+=size[v];
		if (chkmax(mx,size[v])) son=v;
	}
	if (mx*2<=size[x]+a[x]+1) type[x]=0;
	else if (son==x) type[x]=1;
	else type[x]=2,rs=son;
	s[x]=size[x]-size[rs];size[x]+=a[x];fa[x]=f;
	if (type[x]) ans+=2*(size[x]-mx);
	else ans+=size[x]-1;
}
#undef v

int main()
{
    file();
	read(n,m);
	rep(i,1,n) read(a[i]);
	int x,y;
	rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
	dfs(1,0);
	printf("%lld\n",ans);
	while (m--)
	{
		int p;ll w;read(p,w);
		for (int x=p;x;x=fa[x]) splay(x),s[x]+=w,size[x]+=w;
		s[p]-=w;a[p]+=w;
		for (int x=p,y=0;x;x=fa[y=x])
		{
			splay(x);
			ll S=size[x]-size[ls];
			if (!type[x]) ans-=S-w-1;
			else if (type[x]==1&&x!=p) ans-=2ll*(S-w-a[x]);
			else if (type[x]==1&&x==p) ans-=2ll*(S-a[x]);
			else ans-=2ll*(S-w-size[rs]);
			if (size[y]*2>S+1) s[x]+=size[rs]-size[y],rs=y,pushup(x);
			if (size[rs]*2>S+1) ans+=2ll*(S-size[rs]),type[x]=2;
			else if (a[x]*2>S+1) ans+=2ll*(S-a[x]),s[x]+=size[rs],type[x]=1,rs=0,pushup(x);
			else ans+=S-1,s[x]+=size[rs],rs=0,pushup(x),type[x]=0;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}