8.5 NOIP模拟测试13 矩阵游戏+跳房子+优美序列

T1矩阵游戏

数学题。首先这一列这一行先乘还是后乘对最后答案没有影响。a[i][j]表示矩阵中原始的值，h[i]表示i行的累乘，l[i]表示i列的累乘。易得ans=Σa[i][j]*h[i]*l[i]

化简：

ans= Σa[i][j]*h[i]*l[j]=Σh[i]*Σa[i][j]*l[j]

a[i][j]为矩阵的初始值，公差为1的等差数列

以j==3为例 Σa[i][j]*l[j]=a[i][1]*l[1]+a[i][2]*l[2]+a[i][3]*l[3]
            　　　　　   =a[i][1]*l[1]+(a[i][1]+1)*l[2]+(a[i][1]+2)*l[3]
          　　　　　     =a[i][1]*l[1]+a[i][1]*l[2]+a[i][1]*l[3]+0*l[1]+1*l[2]+2*l[3]
          　　　　　     =a[i][1]*(l[1]+l[2]+l[3])+0*l[1]+1*l[2]+2*l[3]

设sum=(l[1]+l[2]+l[3])。Σa[i][j]*l[j]=a[i][1]*sum+0*l[1]+1*l[2]+2*l[3]

a[i][1]=(i-1)*m+1 -->  Σa[i][j]*l[j]=((i-1)*m+1)*sum+0*l[1]+1*l[2]+2*l[3]=(i-1)*m*sum+0*l[1]+1*l[2]+2*l[3]+sum

把sum回带 得Σa[i][j]*l[j]=(i-1)*m*sum+1*l[1]+2*l[2]+3*l[3]

设sumlj=1*l[1]+2*l[2]+3*l[3]...

Σa[i][j]*l[j]=(i-1)*m*sum+sunlj

综上，ans=Σh[i]*（(i-1)*m*sum+sumlj）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define mod 1000000007
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,k,ans,h[],l[],sumlj,suml;
ll read()
{
    register ll aa=,bb=;register char cc=getchar();
    while(cc>''||cc<''){if(cc=='-') bb=-;cc=getchar();}
    while(cc<=''&&cc>=''){aa=aa*+cc-'';cc=getchar();}
    return aa*bb;
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(register ll i=;i<=n;i++) h[i]=;
    for(register ll i=;i<=m;i++) l[i]=;
    register char ch[];register ll x,y;
    for(register ll i=;i<=k;i++){
        scanf("%s",ch);
        x=read();y=read();
        if(ch[]=='R') h[x]=h[x]*y%mod;
        else l[x]=l[x]*y%mod;
    }
    for(int i=;i<=m;i++) suml=(suml+l[i])%mod,sumlj=(sumlj+l[i]*i%mod)%mod;
    for(int i=;i<=n;i++) ans=(ans+((i-)*m%mod*suml%mod+sumlj)%mod*h[i]%mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

矩阵游戏

T2 跳房子

正解是找循环节，每次跳循环节（码量挺大），在我调了一天也没调出来后我就放弃了。

另一种解法是用线段树维护。

把每一列当作一个节点，每个节点（列）里维护这一列的每一行跳一下会跳到哪，上面的区间里维护从l列的某一行到r+1列哪一行，对于每一次询问，区间查询找到跑一圈的情况，用类似快速幂的东西让他跑k/m圈，剩下的区间查询。这个过程中我们其实已经把从当前列的任意位置开跑的情况都已经处理出来了，只需要查询对应行即可。

change操作只会影响上一列的三个点，但由于第一行和最后一行的情况不好处理，我们可以暴力把这一整列都改了，反正没T。。。线段树单点修改就可以了。

需要注意的是那个类似于初始矩阵的东西，他的含义是从这一行跳会回到这一行，所以c[i]=i 。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,Q,x,y,a[][],jump[],huan,hlen,vis[],bx,by,xa,ya;
char ch[];
struct node
{
    int l,r,c[];
}t[];
struct nede
{
    int c[];
    void init(){for(int i=;i<=n;i++) c[i]=i;}
}ans;
void bl()
{
    if(by==m) by=;
    else by++;
    if(bx==){
        if(a[bx][by]>a[bx+][by]&&a[bx][by]>a[n][by]) bx=bx;
        else if(a[bx+][by]>a[bx][by]&&a[bx+][by]>a[n][by]) bx=bx+;
        else if(a[n][by]>a[bx][by]&&a[n][by]>a[bx+][by]) bx=n;
    }
    else if(bx==n){
        if(a[bx][by]>a[bx-][by]&&a[bx][by]>a[][by]) bx=bx;
        else if(a[bx-][by]>a[bx][by]&&a[bx-][by]>a[][by]) bx=bx-;
        else if(a[][by]>a[bx][by]&&a[][by]>a[bx-][by]) bx=;
    }
    else{
        if(a[bx][by]>a[bx+][by]&&a[bx][by]>a[bx-][by]) bx=bx;
        else if(a[bx+][by]>a[bx][by]&&a[bx+][by]>a[bx-][by]) bx=bx+;
        else if(a[bx-][by]>a[bx][by]&&a[bx-][by]>a[bx+][by]) bx=bx-;
    }
}
void update(int x)
{
    for(int i=;i<=n;i++) t[x].c[i]=t[x*+].c[t[x*].c[i]];
}
void build(int x,int l,int r)
{
    t[x].l=l;t[x].r=r;
    if(l==r){
        for(int i=;i<=n;i++){
            bx=i;by=l;
            bl();
            t[x].c[i]=bx;
        }
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>;
    build(x*,l,mid);
    build(x*+,mid+,r);
    update(x);
}
void mul(nede a,node b)
{
    for(int i=;i<=n;i++) ans.c[i]=b.c[a.c[i]];
}
void query(int x,int l,int r)
{
    if(l<=t[x].l&&r>=t[x].r){
        mul(ans,t[x]);
        return;
    }
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>;
    if(l<=mid) query(x*,l,r);
    if(r>mid) query(x*+,l,r);
}
void change(int x,int pos)
{
    if(t[x].l==t[x].r&&t[x].l==pos){
        for(int i=;i<=n;i++){
            bx=i;by=pos;
            bl();
            t[x].c[i]=bx;
        }
        return;
    }
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>;
    if(pos<=mid) change(x*,pos);
    else change(x*+,pos);
    update(x);
}
nede mult(nede a,nede b)
{
    nede as;as.init();
    for(int i=;i<=n;i++) as.c[i]=b.c[a.c[i]];
    return as;
}
nede qpow(nede x,int p)
{
    nede as;as.init();
    while(p){
        if(p&) as=mult(as,x);
        x=mult(x,x);
        p>>=;
    }
    return as;
}
int main()
{
//    freopen("jump1.in","r",stdin);
//    freopen("2.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    build(,,m);
    scanf("%d",&Q);int xx,yy,zz;
    xa=;ya=;
    while(Q--){
        scanf("%s",ch);
        if(ch[]=='m'){
            scanf("%d",&xx);
            ans.init();
            query(,ya,m);
            if(ya!=) query(,,ya-);
            ans=qpow(ans,xx/m);
            int jp=xx%m;
            if(jp){
                if(ya+jp-<=m) query(,ya,ya+jp-);
                else query(,ya,m),query(,,ya+jp-m-);
            }
            xa=ans.c[xa];ya=(ya+xx-)%m+;
            printf("%d %d\n",xa,ya);
        }
        else{
            scanf("%d%d%d",&xx,&yy,&zz);
            a[xx][yy]=zz;
            if(yy==) change(,m);
            else change(,yy-);
        }
    }
    return ;
}

跳房子

T3 优美序列

1.两个好区间的交集也是好区间，所以一个区间向右找到的第一个好区间的右端点就是这个询问区间答案的右端点。

2.一个[l,r]的好区间里，差的绝对值为1的二元组有r-l个。因为把这个区间排序，他肯定是连续的。所以这个可以转化为l+num（二元组）=r，可以当做我们判定一个区间是否为好区间的依据。前边的都已经处理好了，那么当前点i只可能与a[i]+1或a[i]-1构成二元组。包含pos的区间都可以得到1的贡献，所以[1,pos]的区间都可以+1。

离线处理，把所有询问按右边界的大小放进小根堆里。建一棵线段树存区间l+num的最大值，并且维护这个最大值出现的最大位置（l最靠右保证最短）。

l+num只有小于或等于这两种可能，所以只可能是max=r，所以最大值就可以。

每次把以i为右端点的询问倒进待询问的小根堆里，查询[1,l]中是否有满足条件的，满足就找到了答案，不满足了就直接break

至于为什么要把所有询问按右边界的大小放进小根堆里，是因为待询问中r最小的都不符合了，那其他更不可能符合，画图感受一下。（右边不可能比左边多）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
struct node
{
    int l,r,id;
    friend bool operator < (node a,node b){
        return a.l==b.l?a.r>b.r:a.l<b.l;
    }
}h[],ans[];
struct tree
{
    int l,r,mx,pos,lz;
}t[];
int n,m,a[],pos[];
vector<node> ve[];
priority_queue<node>q;
void update(int x)
{
    t[x].mx=max(t[x*].mx,t[x*+].mx);
    t[x].pos=t[x*].mx>t[x*+].mx?t[x*].pos:t[x*+].pos;
}
void build(int x,int l,int r)
{
    t[x].l=l;t[x].r=r;
    if(l==r){
        t[x].mx=l;
        t[x].pos=l;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>;
    build(x*,l,mid);
    build(x*+,mid+,r);
    update(x);
}
void pushdown(int x)
{
    if(t[x].lz){
        t[x*].mx+=t[x].lz;t[x*+].mx+=t[x].lz;
        t[x*].lz+=t[x].lz;t[x*+].lz+=t[x].lz;
        t[x].lz=;
    }
}
void add(int x,int l,int r)
{
    if(l<=t[x].l&&r>=t[x].r){
        t[x].mx++;
        t[x].lz++;
        return;
    }
    pushdown(x);
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>;
    if(l<=mid) add(x*,l,r);
    if(r>mid) add(x*+,l,r);
    update(x);
}
int query(int x,int l,int r,int w)
{
    if(t[x].mx<w) return -;
    if(l<=t[x].l&&r>=t[x].r) return t[x].pos;
    pushdown(x);
    int mid=(t[x].l+t[x].r)>>,as=-;
    if(l<=mid) as=max(as,query(x*,l,r,w));
    if(r>mid) as=max(as,query(x*+,l,r,w));
    return as;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        pos[a[i]]=i;
    }
    scanf("%d",&m);
    for(int i=;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&h[i].l,&h[i].r);
        h[i].id=i;
        ve[h[i].r].push_back(h[i]);
    }
    build(,,n);
    for(int i=;i<=n;i++){
        if(a[i]>&&pos[a[i]-]<i) add(,,pos[a[i]-]);
        if(a[i]<n&&pos[a[i]+]<i) add(,,pos[a[i]+]);
        for(int j=;j<ve[i].size();j++) q.push(ve[i][j]);
        while(q.size()){
            node hh=q.top();
            int as=query(,,hh.l,i);
            if(as==-) break;
            ans[hh.id].l=as;ans[hh.id].r=i;
            q.pop();
        }
    }
    for(int i=;i<=m;i++) printf("%d %d\n",ans[i].l,ans[i].r);
    return ;
}

优美序列

这个出题人好像很喜欢线段树和网格嘞