一类 O(1) 算法的总结

这里要注意一下， 一部分 O(1) 算法是需要 \(O(n)\) 或者 \(O(\sqrt n)\) 预处理的...

1.

O(1) 求 1~n 的异或和：

inline int calc(R int n){int t=n&3;return t&1?(t/2^1):(t/2^n);}

2.

O(1) GCD：

zzq 大佬的 blog 里面有写，我还搬下来做过板子...

某些 数据下会比带 log 的算法高到不知道哪里去，然鹅随机情况嘛...咳咳，我只能说，人家 O(1) 是要预处理的...

3.

O(1) 前缀 k 次和：

类似这么个式子： \(\sum_{i=0}^n i^k\) （虽说左边界是 0 是 1 没什么关系，毕竟 k 也不会等于 0 ）

对于 k=1 ： 原式= \((n+1)n\over 2\)

对于01314413 k=2 ： 原式= \(n(n+1)(2n+1)\over 6\) 或者 \(n(n+{1\over 2})(n+1)\over 3\) 也挺好记的

对于 k=3 ： 原式= \((n+1)^2n^2\over 4\) ，其实就是 k=1 的情况平方了一下...

4.

O(1) 逆元

需要 O(n) 预处理，详情看这里呗，顺便 O(n) 前缀积一下就是阶乘逆元了

5.

O(1) 快速幂

一个大前提是快速幂的底数 x 固定，比如说是 2

这样我们可以 \(O(\sqrt P)\) 预处理出 \(x^0,x^1,...,x^{\sqrt P -1} , x^{\sqrt P},x^{2 \sqrt P},...,x^{P}\)

然后我们就可以愉快地 O(1) 查询了