容斥原理+组合数学

看见这种恰有k个的题一般都是容斥原理,因为恰有的限制比较强,一般需要复杂度较高的方法枚举,而容斥就是转化为至少有k个,然后通过容斥原理解决

我们先选出k个元素作为交集,有C(n,k)种可能,那么剩下的n-k个元素既可以选也可以不选,一共有2^(n-k)种选法,每种选法对应了一个集合,也就是说一共有2^(n-k)种不同的集合,我们希望在这n-k个元素中选出若干个集合,使他们的交集为空,于是我们枚举选多少个元素,i=0->n-k,这样有C(n-k,i)种选法,然后我们使用容斥原理来计算i个元素交集为空集的集合数量,对于给定元素交集大小至少为i的情况,我们可以跟刚才一样先选出i个元素作为交集,方案数同上,然后方案数是2^(2^(n-i-k))-1,因为我们有2^(n-i-k)个集合,每个集合可以选或不选,因为已经选出i个元素作为交集,所以交集大小至少是i,其他的集合随便选就满足至少是i

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = , mod = ;
int n, k;
ll ans, pw = ;
ll inv[N], fac[N], facinv[N];
ll C(int n, int k)
{
return fac[n] * facinv[k] % mod * facinv[n - k] % mod;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &k);
inv[] = inv[] = fac[] = fac[] = facinv[] = facinv[] = ;
for(int i = ; i <= n; ++i)
{
fac[i] = fac[i - ] * (ll)i % mod;
inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
facinv[i] = facinv[i - ] * inv[i] % mod;
}
for(int i = n - k; i >= ; --i)
{
ans = (((ans + ((i & ) ? - : ) * C(n - k, i) * ((pw - ) % mod + mod) % mod) % mod) % mod + mod) % mod;
pw = pw * pw % mod;
}
ans = ((ans * C(n, k) % mod) % mod + mod) % mod;
printf("%lld\n", ans);
return ;
}

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