【CF718E】Matvey's Birthday BFS+动态规划

【CF718E】Matvey's Birthday

题意：给你一个长度为n的，由前8个小写字母组成的字符串s。构建一张n个点的无向图：点i和点j之间有一条长度为1的边当且仅当：|i-j|=1或$s_i=s_j$，求这个图的直径，及直径条数。

$n\le 10^5$

题解：首先有一个比较关键的性质：原图任意两点间的最短路不超过2*8-1。证明显然，因为每个字符在最短路上最多出现2次。

我们先预处理一些东西：f[i][a]表示从i走到任意一个$s_j=a$的点j的最短路，g[a][b]表示从任意一个$s_i=a$的i走到$s_j=b$的j的最短路。转移时可以采用BFS，这里不详细描述。

然后我们枚举i，试图在前面找到距离i最远的点j。点i到点j的距离不难表示成：$min\{i-j,f[i][c]+f[j][c]+1\}$。所以我们可以先枚举i前面的2*8-1个字符，暴力统计答案，然后考虑如何求f[i][c]+f[j][c]+1的最小值。

有一个非常神奇的发现是：f[i][a]的取值一定是g[s[i]][a]或g[s[i]][a]+1，也就意味着我们对于每个i，都可以用一个二进制状态S表示它，其中S的第j位为1当且仅当f[i][a]=g[s[i]][a]+1。接着我们可以预处理出任意两个状态合并能得到的最小值，用v[a][b][S][T]表示，其意义为一个颜色为a，状态为S和一个颜色为b，状态为T的点合并时能得到的最小结果。然后在枚举i时我们可以枚举之前出现过的所有状态，直接调用最小值即可。

这个大概可以叫做DP套DP了吧~

时间复杂度：$O(n\alpha+\alpha^32^{2\alpha}+n\alpha2^{\alpha})$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=100010;
typedef long long ll;
int n,ans;
ll sum;
char str[maxn];
int f[maxn][10],g[10][10],s[maxn],vis[maxn],dp[8][260],v[8][8][260][260],state[maxn];
vector<int> p[10];
vector<int>::iterator it;
queue<int> q;
int main()
{
	scanf("%d%s",&n,str);
	int i,j,u,a,b,c;
	for(i=1;i<=n;i++)	s[i]=str[i-1]-'a',p[s[i]].push_back(i);
	memset(f,0x3f,sizeof(f)),memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(i=0;i<8;i++)
	{
		g[i][i]=0,vis[n+i+1]=1;
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(it=p[i].begin();it!=p[i].end();it++)	q.push(*it),f[*it][i]=0,vis[*it]=1;
		while(!q.empty())
		{
			u=q.front(),q.pop();
			if(u!=1&&!vis[u-1])	q.push(u-1),vis[u-1]=1,f[u-1][i]=f[u][i]+1;
			if(u!=n&&!vis[u+1])	q.push(u+1),vis[u+1]=1,f[u+1][i]=f[u][i]+1;
			if(!vis[n+s[u]+1])
			{
				vis[n+s[u]+1]=1,g[s[u]][i]=f[u][i];
				for(it=p[s[u]].begin();it!=p[s[u]].end();it++)	if(!vis[*it])
					q.push(*it),f[*it][i]=f[u][i]+1,vis[*it]=1;
			}
		}
	}
	memset(v,0x3f,sizeof(v));
	for(a=0;a<8;a++)	for(b=0;b<=a;b++)
	{
		for(i=0;i<256;i++)	for(j=0;j<256;j++)
		{
			for(c=0;c<8;c++)	v[a][b][i][j]=min(v[a][b][i][j],g[a][c]+g[b][c]+((i>>c)&1)+((j>>c)&1)+1);
			v[b][a][j][i]=v[a][b][i][j];
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=max(1,i-15);j<i;j++)
		{
			int tmp=i-j;
			for(c=0;c<8;c++)	tmp=min(tmp,f[i][c]+f[j][c]+1);
			if(ans<tmp)	ans=tmp,sum=0;
			if(ans==tmp)	sum++;
		}
		for(a=0;a<8;a++)	state[i]|=(f[i][a]-g[s[i]][a])<<a;
		for(a=0;a<8;a++)	for(j=0;j<256;j++)	if(dp[a][j])
		{
			int tmp=v[a][s[i]][j][state[i]];
			if(ans<tmp)	ans=tmp,sum=0;
			if(ans==tmp)	sum+=dp[a][j];
		}
		if(i>15)	dp[s[i-15]][state[i-15]]++;
	}
	printf("%d %lld\n",ans,sum);
	return 0;
}//16 aaaaaaaaaaaaaaaa 17 aaaaaaaaaaaaaaaaa