unity--------------------四元数的旋转与原理
四元数介绍
旋转,应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移,中最复杂的一种了。大家应该都听过,有一种旋转的表示方法叫四元数。按照我们的习惯,我们更加熟悉的是另外两种旋转的表示方法——矩阵旋转和欧拉旋转。矩阵旋转使用了一个4*4大小的矩阵来表示绕任意轴旋转的变换矩阵,而欧拉选择则是按照一定的坐标轴顺序(例如先x、再y、最后z)、每个轴旋转一定角度来变换坐标或向量,它实际上是一系列坐标轴旋转的组合。
那么,四元数又是什么呢?简单来说,四元数本质上是一种高阶复数(听不懂了吧。。。),是一个四维空间,相对于复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数,一个复数由实部和虚部组成,即x = a + bi,i是虚数单位,如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的,不同的是,它的虚部包含了三个虚数单位,i、j、k,即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。那么,它和旋转为什么会有关系呢?
在Unity里,tranform组件有一个变量名为rotation,它的类型就是四元数。很多初学者会直接取rotation的x、y、z,认为它们分别对应了Transform面板里R的各个分量。当然很快我们就会发现这是完全不对的。实际上,四元数的x、y、z和R的那三个值从直观上来讲没什么关系,当然会存在一个表达式可以转换,在后面会讲。
大家应该和我一样都有很多疑问,既然已经存在了这两种旋转表示方式,为什么还要使用四元数这种听起来很难懂的东西呢?我们先要了解这三种旋转方式的优缺点:
- 矩阵旋转
- 优点:
- 旋转轴可以是任意向量;
- 缺点:
- 旋转其实只需要知道一个向量+一个角度,一共4个值的信息,但矩阵法却使用了16个元素;
- 而且在做乘法操作时也会增加计算量,造成了空间和时间上的一些浪费;
- 欧拉旋转
- 优点:
- 很容易理解,形象直观;
- 表示更方便,只需要3个值(分别对应x、y、z轴的旋转角度);但按我的理解,它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换,效率不如四元数;
- 缺点:
- 四元数旋转
- 优点:
- 可以避免万向节锁现象;
- 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转,方便快捷,在某些实现下比旋转矩阵效率更高;
- 可以提供平滑插值;
- 缺点:
- 比欧拉旋转稍微复杂了一点点,因为多了一个维度;
- 理解更困难,不直观;
四元数和欧拉角
基础知识
N(q)=1,即q−1=q∗。右边表达式包含了四元数乘法。相关的定义如下:
- 四元数乘法:q1q2=(v1→×v2→+w1v2→+w2v1→,w1w2−v1→⋅v2→)
- 共轭四元数:q∗=(−v⃗ ,w)
- 四元数的模:N(q) = √(x^2 + y^2 + z^2 +w^2),即四元数到原点的距离
- 四元数的逆:q−1=q∗N(q)
- 用于旋转的四元数,每个分量的范围都在(-1,1);
- 每一次旋转实际上需要两个四元数的参与,即q和q*;
- 所有用于旋转的四元数都是单位四元数,即它们的模是1;
- 实际上,在Unity里即便你不知道上述公式和变换也丝毫不妨碍我们使用四元数,但是有一点要提醒你,除非你对四元数非常了解,那么不要直接对它们进行赋值。
- 如果你不想知道原理,只想在Unity里找到对应的函数来进行四元数变换,那么你可以使用这两个函数:Quaternion.Euler和Quaternion.eulerAngles。它们基本可以满足绝大多数的四元数旋转变换。
和其他类型的转换
y = sin(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)+cos(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
z = cos(Y/2)sin(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)cos(Z/2)sin(X/2)
w = cos(Y/2)cos(Z/2)cos(X/2)-sin(Y/2)sin(Z/2)sin(X/2)
q = ((x, y, z), w)
四元数的插值
四元数的创建
- Vector3 newVector = Quaternion.AngleAxis(90, Vector3.up) * Quaternion.LookRotation(someDirection) * someVector;
又例如,如果你想要组合旋转,比如让人物的脑袋向下看或者旋转身体,两种方法其实都可以,但一旦这些旋转不是以世界坐标轴为旋转轴,比如人物扭动脖子向下看等,那么四元数是一个更合适的选择。Unity还提供了transform.forward, transform.right and transform.up 这些非常有用的轴,这些轴可以和Quaternion.AngleAxis组合起来,来创建非常有用的旋转组合。例如,下面的代码让物体执行低头的动作:
- transform.rotation = Quaternion.AngleAxis(degrees, transform.right) * transform.rotation;
补充:欧拉旋转
欧拉旋转是怎么运作的
- 绕坐标系E下的Z轴旋转α,绕坐标系E下的Y轴旋转β,绕坐标系E下的X轴旋转r,即进行一次旋转时不一起旋转当前坐标系;
- 绕坐标系E下的Z轴旋转α,绕坐标系E在绕Z轴旋转α后的新坐标系E'下的Y轴旋转β,绕坐标系E'在绕Y轴旋转β后的新坐标系E''下的X轴旋转r, 即在旋转时,把坐标系一起转动;
- transform.Rotate(new Vector3(0, 30, 90));
原模型的方向和执行结果如下:
- // First case
- transform.Rotate(new Vector3(0, 30, 0));
- transform.Rotate(new Vector3(0, 0, 90));
- // Second case
- // transform.Rotate(new Vector3(0, 0, 90));
- // transform.Rotate(new Vector3(0, 30, 0));
两种情况的结果分别是:
数学模型
万向节锁
- transform.Rotate(new Vector3(0, 0, 40));
- transform.Rotate(new Vector3(0, 90, 0));
- transform.Rotate(new Vector3(80, 0, 0));
我们只需要固定中间一句代码,即使Y轴的旋转角度始终为90°,那么你会发现无论你怎么调整第一句和最后一句中的X或Z值,它会像一个钟表的表针一样总是在同一个平面上运动。
数学解释
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- 41楼 qq7140777762017-08-23 20:30发表 [回复]
- 厉害,我是个渣渣,学习学习,哎
- 40楼 qq_318077112017-08-12 14:55发表 [回复]
- 欧拉角到四元数的转换 sin 和cos不是正弦和余弦吗 那是求角度的正余弦值 你上面用sinY/2 是啥意思呀?X Y Z是代表轴向 你要正弦一个轴向?
- 39楼 Cozak2017-06-10 11:00发表 [回复]
- 博主您好,您在万向节锁一节开头给出的文章中有一句话“静态欧拉角不存在万向节锁问题”,对此本人有以下疑问
根据那篇文章中对“静态欧拉角”的定义:“即绕世界坐标系三个轴的旋转,由于物体旋转过程中坐标轴保持静止,所以称为静态“
如果设x-y-z是参考系坐标(不随模型转动)而X-Y-Z是模型坐标系(跟随模型转动),模型顶点坐标始终在参考系坐标系下,那么静态欧拉角就是定义在x-y-z上的旋转
按照xyz顺规,旋转矩阵为R=R_x(α)R_y(β)R_z(γ),此时如果β=±90°,那么α和γ取任何值模型也只是在同一个水平面转动,即出现万向节锁
按照zxz顺规,旋转矩阵为R=R_z(α)R_x(β)R_z(γ),此时如果β=0°,那么同样会出现万向节锁而英文Wiki中关于“静态欧拉角”(根据定义描述)是写作“extrinsic rotations”,然而并没有说不存在万向节锁问题
翻过去Google也没有找到任何相关信息(除了没有任何来源说明的中文Wiki)希望学识渊博的博主能指一下方向,O(∩_∩)O谢谢
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