HDU 5698——瞬间移动——————【逆元求组合数】

　　　　　　　　瞬间移动

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Problem Description

有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第n行第m列的格子有几种方案，答案对1000000007取模。

 

 

Input

多组测试数据。

两个整数n,m(2≤n,m≤100000)

 

 

 

Output

一个整数表示答案

 

Sample Input

4 5

 

Sample Output

10

Source

2016"百度之星" - 初赛（Astar Round2B）

 

 

解题思路：比赛时候递推了一下，可以求出每个位置的方案数，以为是dp，后来就各种想不通怎么求。最开始看到这个题目的时候，有想组合，但是自己组合一向比较渣，所以就没细想。比赛完了看了一下别人的代码，才突然明白。想做出这个题目需要掌握：逆元求组合数， 快速幂。还有就是明白为什么要枚举1->min(n-2,m-2)。给我们一个坐标，我们可以得出可以移动到的区域即（n-2）*（m-2）。枚举要在这个区域停留几次，C(y,k)，表示从y列中选k列去停，C（x，k）表示从x行中选哪k行去停。所以乘积累加即为结果。

 

lucas定理可以求大组合数取模。

 

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e5+200;
const int mod = 1e9+7;
#define mid (L+R)/2
#define lson rt*2,L,mid
#define rson mid+1,R
LL quick(LL x, LL n){
    if(n == 0)
        return 1;
    LL ret = 1;
    while(n){
        if(n&1)
            ret = (ret*x) % mod;
        n = n>>1;
        x = (x*x) % mod;
    }
    return ret;
}
LL fac[maxn], inv[maxn];
LL C(LL n, LL m){
    if(n == m) return 1;
    if(n < m) return 0;
    return (fac[n] * inv[n-m]) % mod * inv[m] % mod;
}
int main(){
    int n , m;
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= maxn - 10; i++){
        fac[i] = (fac[i-1] * i) % mod;
    }
//    for(int i = 1; i <= 100100; i++){         //这种比较慢，可以有O(n)的递推
//        inv[i] = quick(fac[i] ,(LL)mod-2);
//    }
    inv[maxn-10] = quick(fac[maxn-10],mod-2);
    for(int i = maxn-11; i >= 1; i--){  //递推求解阶乘的逆元
        inv[i] = inv[i+1] * (i+1) % mod;
    }
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        if(n > m)
            swap(n,m);
        n--; m--;
        LL ans = 1;
        for(int i = 1; i < n; i++){
            ans = (ans + (C(n-1,i)*C(m-1,i)) % mod) % mod;
        }
        printf("%d\n",ans%mod);
    }

    return 0;
}