BZOJ 3160 万径人踪灭 解题报告

这个题感觉很神呀。将 FFT 和 Manacher 有机结合在了一起。

首先我们不管那个 “不能连续” 的条件，那么我们就可以求出有多少对字母关于某一条直线对称，然后记 $T_i$ 为关于直线 $i$ 对称的字母对的数量，那么答案（暂记为 $Ans$）就会是：

$$Ans = \sum 2^{T_i}-1$$

在不管那个 “不能连续” 的条件的时候，这个应该是显然的。

怎么算的话，我们弄两次。分别把 $a$ 和 $b$ 当做 $1$，另一个当做 $0$，然后就可以得到一个多项式，将这个多项式平方一下就可以得到所有的 $T_i$ 了，具体用 FFT 实现。

那么我们来管一管这个条件。

我们就可以用 Manacher 求出每一条直线的最长回文半径，然后记 $R_i$ 为直线 $i$ 的最长回文半径，那么实际上的总答案就会是：

$$Ans - \sum R_i$$

然后就做完啦。令 $n$ 为字符串的长度：

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度 $O(n)$。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 #define N 262144 + 5
 #define _Mod 1000000007
 #define Mod 998244353
 #define g 3

 int n, len, Inv_len, d, ans, e[][N], Rev[N], A[N], T[N], R[N];
 char s[N];

 inline int Inc(int u, int v, int p)
 {
     return u + v - (u + v >= p ? p : );
 }

 inline int power(int u, int v, int p)
 {
     int res = ;
     for (; v; v >>= )
     {
         if (v & ) res = (LL) res * u % p;
         u = (LL) u * u % p;
     }
     return res;
 }

 inline void FFT_Prepare()
 {
     for (len = n << ; len != (len & -len); len += (len & -len)) ;
     for (int i = len; i > ; i >>= ) d ++;
     int w = power(g, (Mod - ) / len, Mod);
     int Inv_w = power(w, Mod - , Mod);
     Inv_len = power(len, Mod - , Mod);
     for (int i = ; i < len; i ++)
     {
         e[][i] = !i ?  : (LL) e[][i - ] * w % Mod;
         e[][i] = !i ?  : (LL) e[][i - ] * Inv_w % Mod;
         for (int j = ; j < d; j ++)
             if ((i >> j) & ) Rev[i] +=  << (d - j - );
     }
 }

 inline void FFT(int *p, int op)
 {
     for (int i = ; i < len; i ++)
         if (Rev[i] > i) swap(p[Rev[i]], p[i]);
     for (int k = , s = ; k < len; k <<= , s ++)
         for (int i = ; i < len; i ++)
         {
             if (i & k) continue ;
             int t = (i & (k - )) << (d - s);
             int u = Inc(p[i], (LL) p[i + k] * e[op][t] % Mod, Mod);
             int v = Inc(p[i], (LL) (Mod - p[i + k]) * e[op][t] % Mod, Mod);
             p[i] = u, p[i + k] = v;
         }
 }

 inline void FFT_Work(char key)
 {
     memset(A, , sizeof(A));
     for (int i = ; i < n; i ++)
         A[i] = (s[i] == key);
     FFT(A, );
     for (int i = ; i < len; i ++)
         A[i] = (LL) A[i] * A[i] % Mod;
     FFT(A, );
     for (int i = ; i < len; i ++)
         T[i] = Inc(T[i], (LL) A[i] * Inv_len % Mod, Mod);
 }

 inline void Manacher()
 {
     for (int i = (n << ); i >= ; i --)
         s[i] = i &  ? s[i >> ] : 'c';
     int mx = -, id;
     for (int i = ; i <= (n << ); i ++)
     {
         if (mx > i)
             R[i] = min(R[id *  - i], mx - i);
         else R[i] = ;
         for (; i + R[i] <= (n << ) && i - R[i] >=  && s[i + R[i]] == s[i - R[i]]; R[i] ++) ;
         if (i + R[i] > mx)
             mx = i + R[i], id = i;
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%s", s);
     n = strlen(s);
     FFT_Prepare();
     for (char ch = 'a'; ch <= 'b'; ch ++)
         FFT_Work(ch);
     for (int i = ; i < len; i ++)
     {
         T[i] = (T[i] + ) >> ;
         ans = Inc(ans, power(, T[i], _Mod) - , _Mod);
     }
     Manacher();
     for (int i = ; i <= (n << ); i ++)
         ans = Inc(ans, _Mod - R[i] / , _Mod);
     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }

3160_Gromah