洛谷 P2491 解题报告

P2491 消防

题目描述

某个国家有n个城市，这n个城市中任意两个都连通且有唯一一条路径，每条连通两个城市的道路的长度为zi(zi<=1000)。

这个国家的人对火焰有超越宇宙的热情，所以这个国家最兴旺的行业是消防业。由于政府对国民的热情忍无可忍（大量的消防经费开销）可是却又无可奈何（总统竞选的国民支持率），所以只能想尽方法提高消防能力。

现在这个国家的经费足以在一条边长度和不超过s的路径（两端都是城市）上建立消防枢纽，为了尽量提高枢纽的利用率，要求其他所有城市到这条路径的距离的最大值最小。

你受命监管这个项目，你当然需要知道应该把枢纽建立在什么位置上。

输入输出格式

输入格式：

输入包含n行：

第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为城市的个数，s为路径长度的上界。设结点编号以此为1，2，……，n。

从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。

输出格式：

输出包含一个非负整数，即所有城市到选择的路径的最大值，当然这个最大值必须是所有方案中最小的。

说明

【数据规模和约定】

对于20%的数据，n<=300。

对于50%的数据，n<=3000。

对于100%的数据，n<=300000，边长小等于1000。

对于消防局的建设的地点，选择在树的直径上是最优的。

树的直径：树中的最长简单路

证明：

假设消防局为黄链\(A\)（\(A\)不在\(D\)上），其中有点\(A_1\)，\(A_2\)......\(A_n\)，树的某一直径为蓝链\(D\)，两边的点分别为\(D_1\),\(D_2\)

则对于点\(A_i\)来说，在整颗树中最远的点即为\(D_1\)或\(D_2\)

证明(证明中的证明)：

假设存在\(S_2\)使得\(D_3\)距离Ai最远，则必有\(S_2+S_1>S_4\)(或\(S_3\))，即产生了新的直径，不成立，得证。

由以上可知，黄链上的点到外面最远的一个点的距离为

\(Dis=min\{E(A_i,D_1),E(A_i,D_2),i\in[1,n]\}\)

若令\(dis\)最小，则链\(A\)必在链\(D\)上。

但是，当\(A\)在\(D\)上时，链\(A\)到外面的点（即不在直径上的点）的距离\(f\)是可能大于\(dis\)的，是合法的。

这样是否矛盾？

不矛盾，因为任何一个在外面的链\(A\)的\(dis\)都是大于在直径上的链\(A\)的\(f\)的

~~其实不太严谨哈~~

那么对于这个题，我们就有了思路啊

2次dfs求出树的直径（第一次求出某条直径端点，第二次直接抽出直径）
预处理直径上每个点\(i\)向外延伸的最长距离\(c[i]\)
对于待检验链\(A\)，左端为\(A_i\),右端为\(A_j\)，此时的最长距离即为\(max\{E(A_1,A_i),E(A_j,A_n),c[k],k\in[i,j]\}\)

前两个好弄，前缀和就行。

后一个是\(RMQ\)问题，\(ST\)表线段树维护一下就行。

但还有个更优的，我们注意到我们相当于拿一个窗口划过了链\(A\),对啊，妥妥的单调队列维护啊

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=300010;
int n,s;
int used[N];
struct node1
{
    int i,w;
    node1(){}
    node1(int i,int w)
    {
        this->i=i;
        this->w=w;
    }
};
deque <node1> q;
struct node
{
    int i,w;
    node(){}
    node(int i,int w)
    {
        this->i=i;
        this->w=w;
    }
};
vector <node > g[N];
int l,m_max=0;
int son[N],ww[N];
int c[N];//节点i外面的最长边
void dfs0(int now,int len)
{
    used[now]=true;
    if(m_max<len)
    {
        m_max=len;
        l=now;
    }
    for(int i=0;i<g[now].size();i++)
    {
        int v=g[now][i].i,w=g[now][i].w;
        if(!used[v])
            dfs0(v,w+len);
    }
}

void dfs1(int now)
{
    used[now]=true;
    for(int i=0;i<g[now].size();i++)
    {
        int v=g[now][i].i,w=g[now][i].w;
        if(!used[v])
        {
            dfs1(v);
            if(ww[v]+w>ww[now])
            {
                ww[now]=ww[v]+w;
                son[now]=v;
            }
        }
    }
}

int dfs(int now)
{
    int mmax=0;
    used[now]=1;
    for(int i=0;i<g[now].size();i++)
    {
        int v=g[now][i].i,w=g[now][i].w;
        if(!used[v])
            mmax=max(dfs(v)+w,mmax);
    }
    return mmax;
}
int a[N],f[N];

int main()
{
    cin>>n>>s;
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        node tt(v,w);
        g[u].push_back(tt);
        tt.i=u;
        g[v].push_back(tt);
    }
    memset(used,0,sizeof(used));
    dfs0(1,0);//找到左端点
    memset(used,0,sizeof(used));
    memset(son,0,sizeof(son));
    memset(ww,0,sizeof(ww));
    dfs1(l);//存储直径
    memset(used,0,sizeof(used));
    int now=l;
    int cnt=0;
    while(now)
    {
        used[now]=1;
        a[++cnt]=now;
        now=son[now];
    }
    now=l;
    cnt=0;
    while(now)
    {
        c[++cnt]=dfs(now);
        now=son[now];
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        f[i]=ww[a[i]];
    int ans=0x3f3f3f3f,ll=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        node1 tt(i,c[i]);
        while(!q.empty()&&c[i]>q.front().w) q.pop_front();
        q.push_front(tt);
        while(f[ll]-f[i]>s)
        {
            ll++;
            if(q.back().i<ll)
                q.pop_back();
        }
        ans=min(ans,max(f[1]-f[ll],max(f[i],q.back().w)));
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

结论：

两遍DFS求树的直径
权有上界的以最小代价联通整个树的链在树的直径上

2018.4.27