使用python和pygame绘制繁花曲线

　　前段时间看了一期《最强大脑》，里面展示了各种繁花曲线组合成的非常美丽的图形，一时心血来潮，想尝试自己用代码绘制繁花曲线，想怎么组合就怎么组合。

　　

　　真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制，繁花曲线规由相互契合的大小两个圆组成，用笔插在小圆上的一个孔中，紧贴大圆的内壁滚动，就可以绘制出漂亮的图案。

　　这个过程可以做一个抽象：有两个半径不相等的圆，大圆位置固定，小圆在大圆内部，小圆紧贴着大圆内壁滚动，求小圆上的某一点走过的轨迹。

　　进一步分析，小圆的运动可以分解为两个部分：小圆圆心绕大圆圆心公转、小圆绕自身圆心自转。

　　设大圆圆心为A，半径为Ra，小圆圆心为B，半径为Rb，轨迹点为C，半径为Rc(BC距离)，设小圆公转的弧度为 θ [0, ∞)，如图：

　　

　　因为大圆的圆心坐标是固定的，要求得小圆上的某点的轨迹，就需要先求出小圆在当前时刻的圆心坐标，再求出小圆自转的弧度，最后求出小圆上某点的坐标。

　　第一步：求小圆圆心坐标

　　小圆圆心(x_b, y_b)绕大圆圆心(x_a, y_a)公转，公转轨迹是一个半径为 R_A - R_B 的圆。求小圆圆心坐标，相当于是求半径为 R_A - R_B 的圆上 θ 弧度对应的点的坐标。

　　圆上的点的坐标公式为：

　　x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)

　　所以小圆圆心坐标(x_b, y_b)为：( x_a + (R_a - R_b) * cos(θ),  y_a + (R_a - R_b) * sin(θ) )

　　

　　第二步：求小圆自转弧度

　　设小圆自转弧度为α，小圆紧贴大圆运动，两者走过的路程相同，因此有：

　　R_a * θ = R_b * α

　　小圆自转弧度 α = (R_a / R_b) * θ

　　

　　第三步：求点C坐标

　　点C相对小圆圆心B的公转轨迹是一个半径为 R_c 的圆，计算方法同第一步，有：

　　轨迹点C的坐标(x_c, y_c)为：( x_b + R_c * cos(α),  y_b + R_c * sin(α) )

　　按照以上算法分析，用python代码实现如下：

 # -*- coding: utf-8 -*-
 
 import math
 
 '''
 功能：
     已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
 入参：
     center：圆心
     radius：半径
     radian：弧度
 '''
 def get_point_in_circle(center, radius, radian):
     return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))
 
 '''
 功能：
     内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径，已知公转弧度和绕点半径，计算绕点坐标
 入参：
     center_A：外圆圆心
     radius_A：外圆半径
     radius_B：内圆半径
     radius_C：绕点半径
     radian：公转弧度
 '''
 def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
     # 计算内圆圆心坐标
     center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
     # 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
     radian_C = 2.0 * math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0 * math.pi))
     # 计算绕点坐标
     return get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)

　　有两点需要注意：

　　（1）屏幕坐标系左上角为原点，垂直向下为Y正轴，与数学坐标系Y轴方向相反，所以第14行Y坐标为减法；

　　（2）默认公转为逆时针，则自转为顺时针，所以第30行求自转弧度时，使用了2π - α%(2π)；

　　坐标已经计算出来，接下来使用pygame绘制。曲线轨迹的绘制思想是以0.01弧度为一个步长，不断计算出新的坐标，把一系列坐标连起来就会形成轨迹图。

　　为了能够形成一个封闭图形，还需要知道绘制点什么时候会重新回到起点。想了一个办法，以X轴正半轴为基准线，每次绘制点到达基准线，计算此时绘制点与起点的距离，达到一定精度认为已经回到起点，形成封闭图形。

 ''' 计算两点距离（平方和） '''
 def get_instance(p1, p2):
     return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
 
 '''
 功能：
     获取绕点路径的所有点的坐标
 入参：
     center：外圆圆心
     radius_A：外圆半径
     radius_B：内圆半径
     radius_C：绕点半径
     shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
 '''
 def get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
     # 转为实数
     radius_A *= 1.0
     radius_B *= 1.0
     radius_C *= 1.0
 
     P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
     R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian/4) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
 
     # 第一圈的起点坐标
     start_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
     points = [start_point]
     # 第一圈的路径坐标
     for r in range(1, R_PER_ROUND):
         points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r))
 
     # 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
     for round in range(1, 100):
         s_radian = round*P2
         s_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
         if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
             break
         points.append(s_point)
         for r in range(1, R_PER_ROUND):
             points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r))
 
     return points

　　再加上绘制代码，完整代码如下：

 # -*- coding: utf-8 -*-
 
 import math
 import random
 
 '''
 功能：
     已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
 入参：
     center：圆心
     radius：半径
     radian：弧度
 '''
 def get_point_in_circle(center, radius, radian):
     return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))
 
 '''
 功能：
     内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径、公转弧度，已知绕点半径，计算绕点坐标
 入参：
     center_A：外圆圆心
     radius_A：外圆半径
     radius_B：内圆半径
     radius_C：绕点半径
     radian：公转弧度
 '''
 def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
     # 计算内圆圆心坐标
     center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
     # 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
     radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
     # 计算绕点坐标
     center_C = get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)
     center_B_Int = (int(center_B[0]), int(center_B[1]))
     return center_B_Int, center_C
 
 ''' 计算两点距离（平方和） '''
 def get_instance(p1, p2):
     return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
 
 '''
 功能：
     获取绕点路径的所有点的坐标
 入参：
     center：外圆圆心
     radius_A：外圆半径
     radius_B：内圆半径
     radius_C：绕点半径
     shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
 '''
 def get_points(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
     # 转为实数
     radius_A *= 1.0
     radius_B *= 1.0
     radius_C *= 1.0
 
     P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
     R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
 
     # 第一圈的起点坐标
     start_center, start_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
     points = [start_point]
     centers = [start_center]
     # 第一圈的路径坐标
     for r in range(1, R_PER_ROUND):
         center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r)
         points.append(point)
         centers.append(center)
 
     # 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
     for round in range(1, 100):
         s_radian = round*P2
         s_center, s_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
         if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
             break
         points.append(s_point)
         centers.append(s_center)
         for r in range(1, R_PER_ROUND):
             center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r)
             points.append(point)
             centers.append(center)
 
     print(len(points)/R_PER_ROUND)
 
     return centers, points
 
 import pygame
 from pygame.locals import *
 
 pygame.init()
 screen = pygame.display.set_mode((600, 400))
 clock = pygame.time.Clock()
 
 color_black = (0, 0, 0)
 color_white = (255, 255, 255)
 color_red = (255, 0, 0)
 color_yello = (255, 255, 0)
 
 center = (300, 200)
 radius_A = 150
 radius_B = 110
 radius_C = 50
 
 test_centers, test_points = get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C)
 test_idx = 2
 draw_point_num_per_tti = 5
 
 while True:
     for event in pygame.event.get():
         if event.type==pygame.QUIT:
             pygame.quit()
             exit(0)
 
     screen.fill(color_white)
 
     pygame.draw.circle(screen, color_black, center, int(radius_A), 2)
 
     if test_idx <= len(test_points):
         pygame.draw.aalines(screen, (0, 0, 255), False, test_points[:test_idx], 1)
         if test_idx < len(test_centers):
             pygame.draw.circle(screen, color_black, test_centers[test_idx], int(radius_B), 1)
             pygame.draw.aaline(screen, color_black, test_centers[test_idx], test_points[test_idx], 1)
         test_idx = min(test_idx + draw_point_num_per_tti, len(test_points))
 
     clock.tick(50)
     pygame.display.flip()

　　

　　关于pygame的使用，参考博客 eyehere.net/2011/python-pygame-novice-professional-index/

　　效果：