●BZOJ 2693 jzptab
题链:
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693
题解:
莫比乌斯反演
先看看这个题,BZOJ 2154 Crash的数字表格,本题的升级版:改为了多组数据。
既然是多组数据,那么之前的$O(N)$的方法就不行了。
现在需要对求ANS的式子进行优化,看看能不能降低复杂度。
$ANS=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g\times \sum_{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{g} \rfloor,\lfloor \frac{m}{g} \rfloor)} \mu(d)d^2sum(\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor,\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor)$
令$D=gd$,然后去枚举D,则
$\quad\quad=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) \sum_{d|D} \frac{D}{d}\mu(d)d^2$
$\quad\quad=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) \sum_{d|D} dD\times\mu(d)$
令$w[D]=\sum_{d|D} dD\times\mu(d)$,所以
$ANS=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) w[D]$
如果可以求出$w[D]$的值,那么这个求ANS的式子就可以用上向下取整的特性,以$O(\sqrt N)$的复杂度求出。
而至于$w[D]$求法,注意到这个也是积性函数,可以在线性筛时求出:
1.对于一个质数p,$w[p]=1\times p\times 1+p\times p \times(-1)$
2.对于枚举到的i和质数p,
如果i%p!=0,则运用积性函数的性质:$w[i\times p]=w[i]\times w[p]$
否则,不难发现,新增的p导致产生的其他加项中$\mu(d)=0$,所以直接$w[i\times p]=w[i]\times p$
(w[ ]的推导仔细想想哈,其实并不麻烦的)
代码:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 10000050
using namespace std;
const int mod=100000009;
int w[MAXN],pw[MAXN];
void Sieve(){
static bool np[MAXN];
static int prime[MAXN],pnt;
w[1]=1,pw[1]=1;
for(int i=2;i<=10000000;i++){
if(!np[i]) prime[++pnt]=i,w[i]=((1ll*i-1ll*i*i%mod)%mod+mod)%mod;
for(int j=1;j<=pnt&&i<=10000000/prime[j];j++){
np[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) w[i*prime[j]]=((-1ll*w[i]*prime[j]%mod*prime[j]%mod+mod)%mod+1ll*w[i]*prime[j]%mod)%mod;
else{w[i*prime[j]]=1ll*w[i]*prime[j]%mod; break;}
}
pw[i]=(1ll*pw[i-1]+w[i])%mod;
}
}
int sum(int n,int m){
return ((1ll*(1+n)*n/2%mod)*(1ll*(1+m)*m/2%mod))%mod;
}
int main(){
Sieve(); int Case,n,m,ans,mini;
scanf("%d",&Case);
for(int i=1;i<=Case;i++){
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=0; mini=min(n,m);
for(int d=1,last;d<=mini;d=last+1){
last=min(n/(n/d),m/(m/d));
ans=(1ll*ans+1ll*(pw[last]-pw[d-1]+mod)%mod*sum(n/d,m/d)%mod)%mod;
}
printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}
●BZOJ 2693 jzptab的更多相关文章
- 【莫比乌斯反演】关于Mobius反演与lcm的一些关系与问题简化(BZOJ 2154 crash的数字表格&&BZOJ 2693 jzptab)
BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b ...
- [bzoj 2693] jzptab & [bzoj 2154] Crash的数字表格 (莫比乌斯反演)
题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑Ny=1∑Mlim(x, ...
- bzoj 2693: jzptab 线性筛积性函数
2693: jzptab Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 444 Solved: 174[Submit][Status][Discus ...
- BZOJ 2693: jzptab [莫比乌斯反演 线性筛]
2693: jzptab Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194 Solved: 455[Submit][Status][Discu ...
- BZOJ 2693: jzptab( 莫比乌斯反演 )
速度居然#2...目测是因为我没用long long.. 求∑ lcm(i, j) (1 <= i <= n, 1 <= j <= m) 化简之后就只须求f(x) = x∑u( ...
- BZOJ 2693 jzptab
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693 题解: 考虑把lcm转化成gcd那答案就是然后神奇的设:就有:一样可以枚举 的取值,这是O(√ ...
- BZOJ 2693 jzptab ——莫比乌斯反演
同BZOJ 2154 但是需要优化 $ans=\sum_{d<=n}d*\sum_{i<=\lfloor n/d \rfloor} i^2 *\mu(i)* Sum(\lfloor \fr ...
- 【刷题】BZOJ 2693 jzptab
Description Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sa ...
- BZOJ 2693: jzptab 莫比乌斯反演 + 积性函数 +筛法
Code: #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define M 10001000 #define maxn 10200100 #d ...
随机推荐
- 学号:201621123032 《Java程序设计》第4周学习总结
1:本周学习总结 1. 写出你认为本周学习中比较重要的知识点关键词 继承,多态,父类object,抽象类 2. 尝试使用思维导图将这些关键词组织起来 2:书面作业 2.1: 面向对象设计 1. 讲故事 ...
- pickle使用及案例
一.字典格式数据源写入数据库文件 #!/usr/bin/env python # -*- coding:utf-8 -*- import pickle accounts ={1000:'alex', ...
- nyoj 仿射密码
仿射密码 时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB 难度:1 描述 仿射密码是替换密码的另一个特例,可以看做是移位密码和乘数密码的结合.其加密变换如下: E(m)=(k1*m+k2) ...
- nyoj VF
VF 时间限制:1000 ms | 内存限制:65535 KB 难度:2 描述 Vasya is the beginning mathematician. He decided to make ...
- DDD实战进阶第一波(二):开发一般业务的大健康行业直销系统(搭建支持DDD的轻量级框架一)
要实现软件设计.软件开发在一个统一的思想.统一的节奏下进行,就应该有一个轻量级的框架对开发过程与代码编写做一定的约束. 虽然DDD是一个软件开发的方法,而不是具体的技术或框架,但拥有一个轻量级的框架仍 ...
- python全栈开发-json和pickle模块(数据的序列化)
一.什么是序列化? 我们把对象(变量)从内存中变成可存储或传输的过程称之为序列化,在Python中叫pickling,在其他语言中也被称之为serialization,marshalling,flat ...
- Angular 学习笔记 ( CDK - Portal )
Portal 的主要使用场景是 dynamic component 动态的插入模板或组件. Portal 可分为 2 种. 进入和出去 (in or out) ComponentPortal, Tem ...
- spring-oauth-server实践:授权方式四:client_credentials 模式下access_token的产生
授权结果 获取access_token成功, 访问资源服务器API http://localhost:9000/api-gateway-engine/unity/user_info?access_to ...
- 新概念英语(1-9)How is Ema?
A:Hello Helen. B:Hi Steven. A:How are you today? B:I'm very well, thank you. And you? A:I'm fine tha ...
- gradle入门(1-2)gradle的依赖管理
Gradle支持以下仓库格式: Ivy仓库 Maven仓库 Flat directory仓库 一.添加仓库 1.添加Ivy仓库 1.1.通过URL地址添加一个Ivy仓库 我们可以将以下代码片段加入到b ...