题链:

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693

题解:

莫比乌斯反演

先看看这个题,BZOJ 2154 Crash的数字表格,本题的升级版:改为了多组数据。

既然是多组数据,那么之前的$O(N)$的方法就不行了。

现在需要对求ANS的式子进行优化,看看能不能降低复杂度。

$ANS=\sum_{g=1}^{min(n,m)}g\times \sum_{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{g} \rfloor,\lfloor \frac{m}{g} \rfloor)} \mu(d)d^2sum(\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor,\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor)$

令$D=gd$,然后去枚举D,则

$\quad\quad=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) \sum_{d|D} \frac{D}{d}\mu(d)d^2$

$\quad\quad=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) \sum_{d|D} dD\times\mu(d)$

令$w[D]=\sum_{d|D} dD\times\mu(d)$,所以

$ANS=\sum_{D=1}^{min(n,m)}sum(\lfloor \frac{n}{D} \rfloor,\lfloor \frac{m}{D} \rfloor) w[D]$

如果可以求出$w[D]$的值,那么这个求ANS的式子就可以用上向下取整的特性,以$O(\sqrt N)$的复杂度求出。

而至于$w[D]$求法,注意到这个也是积性函数,可以在线性筛时求出:

1.对于一个质数p,$w[p]=1\times p\times 1+p\times p \times(-1)$

2.对于枚举到的i和质数p,

  如果i%p!=0,则运用积性函数的性质:$w[i\times p]=w[i]\times w[p]$

  否则,不难发现,新增的p导致产生的其他加项中$\mu(d)=0$,所以直接$w[i\times p]=w[i]\times p$

(w[ ]的推导仔细想想哈,其实并不麻烦的)

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 10000050
using namespace std;
const int mod=100000009;
int w[MAXN],pw[MAXN];
void Sieve(){
static bool np[MAXN];
static int prime[MAXN],pnt;
w[1]=1,pw[1]=1;
for(int i=2;i<=10000000;i++){
if(!np[i]) prime[++pnt]=i,w[i]=((1ll*i-1ll*i*i%mod)%mod+mod)%mod;
for(int j=1;j<=pnt&&i<=10000000/prime[j];j++){
np[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) w[i*prime[j]]=((-1ll*w[i]*prime[j]%mod*prime[j]%mod+mod)%mod+1ll*w[i]*prime[j]%mod)%mod;
else{w[i*prime[j]]=1ll*w[i]*prime[j]%mod; break;}
}
pw[i]=(1ll*pw[i-1]+w[i])%mod;
}
}
int sum(int n,int m){
return ((1ll*(1+n)*n/2%mod)*(1ll*(1+m)*m/2%mod))%mod;
}
int main(){
Sieve(); int Case,n,m,ans,mini;
scanf("%d",&Case);
for(int i=1;i<=Case;i++){
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=0; mini=min(n,m);
for(int d=1,last;d<=mini;d=last+1){
last=min(n/(n/d),m/(m/d));
ans=(1ll*ans+1ll*(pw[last]-pw[d-1]+mod)%mod*sum(n/d,m/d)%mod)%mod;
}
printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}

  

●BZOJ 2693 jzptab的更多相关文章

  1. 【莫比乌斯反演】关于Mobius反演与lcm的一些关系与问题简化(BZOJ 2154 crash的数字表格&&BZOJ 2693 jzptab)

    BZOJ 2154 crash的数字表格 Description 今天的数学课上,Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple).对于两个正整数a和b,LCM(a, b ...

  2. [bzoj 2693] jzptab & [bzoj 2154] Crash的数字表格 (莫比乌斯反演)

    题目描述 TTT组数据,给出NNN,MMM,求∑x=1N∑y=1Mlim(x,y)\sum_{x=1}^N\sum_{y=1}^M lim(x,y)\newlinex=1∑N​y=1∑M​lim(x, ...

  3. bzoj 2693: jzptab 线性筛积性函数

    2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 444  Solved: 174[Submit][Status][Discus ...

  4. BZOJ 2693: jzptab [莫比乌斯反演 线性筛]

    2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194  Solved: 455[Submit][Status][Discu ...

  5. BZOJ 2693: jzptab( 莫比乌斯反演 )

    速度居然#2...目测是因为我没用long long.. 求∑ lcm(i, j) (1 <= i <= n, 1 <= j <= m) 化简之后就只须求f(x) = x∑u( ...

  6. BZOJ 2693 jzptab

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2693 题解: 考虑把lcm转化成gcd那答案就是然后神奇的设:就有:一样可以枚举 的取值,这是O(√ ...

  7. BZOJ 2693 jzptab ——莫比乌斯反演

    同BZOJ 2154 但是需要优化 $ans=\sum_{d<=n}d*\sum_{i<=\lfloor n/d \rfloor} i^2 *\mu(i)* Sum(\lfloor \fr ...

  8. 【刷题】BZOJ 2693 jzptab

    Description Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sa ...

  9. BZOJ 2693: jzptab 莫比乌斯反演 + 积性函数 +筛法

    Code: #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define M 10001000 #define maxn 10200100 #d ...

随机推荐

  1. 学号:201621123032 《Java程序设计》第11周学习总结

    1:本周学习总结 1.1.:以你喜欢的方式(思维导图或其他)归纳总结多线程相关内容. 2:书面作业 2.1.: 源代码阅读:多线程程序BounceThread 1.1: BallRunnable类有什 ...

  2. 20145237 《Java程序设计》第三周学习总结

    20145237 <Java程序设计>第3周学习总结 教材学习内容总结 第四章主要讲了Java基本类型中的类类型,如何定义类.构造函数.使用标准类.基本类型打包器.数组复制.字符串等内容查 ...

  3. Flask学习 二 模板

    jinja2模版 from flask import Flask,render_template app = Flask (__name__) @app.route ('/<name>') ...

  4. Java中三种比较常见的数组排序

    我们学习数组比较常用的数组排序算法不是为了在工作中使用(这三个算法性能不高),而是为了练习for循环和数组.因为在工作中Java API提供了现成的优化的排序方法,效率很高,以后工作中直接使用即可 . ...

  5. Python扩展模块——selenium的使用(定位、下载文件等)

    想全面的使用selenium可以下载<selenium 2自动化测试实战-基于Python语言>PDF的电子书看看 我使用到了简单的浏览器操作,下载文件等功能... 推荐使用firefox ...

  6. C#之Socket通信

    0.虽然之前在项目中也有用过Socket,但始终不是自己搭建的,所以对Server,Clinet端以及心跳,断线重连总没有很深入的理解,现在自己搭建了一遍加深一下理解. 服务端使用WPF界面,客户端使 ...

  7. Oracle闪回技术

    (一)闪回技术概要 闪回技术是数据库备份与恢复的重要补充手段,主要包括以下7种特性: 特性 原理 数据库支持 闪回查询(Flashback Query) 利用undo表空间中的回退信息,查询过去某个时 ...

  8. 搭建一个web服务下载HDFS的文件

    需求描述 为了能方便快速的获取HDFS中的文件,简单的搭建一个web服务提供下载很方便快速,而且在web服务器端不留临时文件,只做stream中转,效率相当高! 使用的框架是SpringMVC+HDF ...

  9. HTTP协议扫盲(三)HTTP协议的请求头列表和分类描述

    一.请求报头和响应报头列表 1.Requests 头列表 Header 解释 示例 Accept 指定客户端能够接收的内容类型 Accept: text/plain, text/html Accept ...

  10. 测试驱动开发实践4————testSave之新增文档分类

    [内容指引] 1.确定"新增文档分类"的流程及所需的参数 2.根据业务规则设计测试用例 3.为测试用例赋值并驱动开发 一.确定"新增文档分类"的流程及所需的参数 ...