【二分+容斥+莫比乌斯反演】BZOJ2440 完全平方数

Description

　　求第k个没有完全平方因子的数，k<=1e9。

Solution

　　这其实就是要求第k个µ[i](莫比乌斯函数)不为0的数。

　　然而k太大数组开不下来是吧，于是这么处理。

　　二分答案x，问题转化为求[1,x]间有多少个没有完全平方因子的数。

　　容斥，加上全部，减去一个质数的平方的倍数个数，加上两个质数乘积的平方的倍数个数...

　　然后发现，每个数的系数就是µ

　　这也说明了莫比乌斯的原理就是容斥，µ函数就是容斥系数

　　具体来说，对于每一个i<=sqrt(x)，对于ans的贡献就是µ[i]*int(n/(i*i))(向下取整)

　　有 于是二分上限2*k

　　复杂度为log(n)*sqrt(n)

Code

　　一开始直接mid=(l+r)>>1溢出T了一发

　　正确姿势mid=l>>1+r>>1+(l&r&1)

　　

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=5e4+;

 int mu[maxn],flag[maxn];
 int prime[maxn],cnt;

 int getmu(){
     mu[]=;
     for(int i=;i<maxn;i++){
         if(!flag[i]){
             prime[++cnt]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(int j=;i*prime[j]<maxn&&j<=cnt;j++){
             flag[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j]==){
                 mu[i*prime[j]]=;
                 break;
             }
             mu[i*prime[j]]=-mu[i];
         }
     }
 }

 int work(int n){
     int ret=;
     for(int i=;i*i<=n;i++)
         ret+=mu[i]*int(1.0*n/(i*i));
     return ret;
 }

 int main(){
     int T,k;
     scanf("%d",&T);
     getmu();

     while(T--){
         scanf("%d",&k);
         int l=,r=*k;
         while(l<r){
             int mid=(l>>)+(r>>)+(l&r&);
             if(work(mid)>=k) r=mid;
             else l=mid+;
         }
         printf("%d\n",l);
     }
     return ;
 }