【BZOJ4004】装备购买（线性基）

题面

Description

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示

(1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着

怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是

说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果

脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzi

p = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。举个例子,z1 =(1; 2;

3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2

就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，

其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

Output

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

Sample Input

3 3

1 2 3

3 4 5

2 3 4

1 1 2

Sample Output

2 2

HINT

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。对于 100% 的数据, 1 <= n;m <= 500; 0 <= aj <= 1000。

题解

很有道理的线性基，完全没有想到还有这种用法

其实回忆一下异或线性基的使用方法

我们可以理解为是在解一个异或方程组

方法是类似与高斯消元。

那么，这里不再是异或方程组，就是一个普通的方程组

那么，可以类似于异或线性基的做法

如果有当前系数的方程已经在线性基中存在

那么，把当前方程的每一项系数都按照对应的倍数减一下（这不就是高斯消元？）

然后继续向后面的位置检查就行了。

如果一个方程组可以被另外的方程组给表示出来

那么，它在线性基中一定无法插入进去（是不是很类似于把一个数丢进异或线性基，跑出来如果是$0$就可以被其他的数的异或和所表示）

考虑怎么求解，就和异或线性基一样的套路啦，

按照价格从小到达排序，能够插进去就插进去，

最后统计一下答案就好啦

本题卡精度

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 555
#define double long double
#define eps (1e-6)
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
bool vis[MAX];
double p[MAX][MAX];
int n,m;
struct Node{int c;double p[MAX];}a[MAX];
bool operator<(Node a,Node b){return a.c<b.c;};
bool insert(int x)
{
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		if(fabs(a[x].p[i])<=eps)continue;
		if(vis[i])
		{
			double b=a[x].p[i]/p[i][i];
			for(int j=i;j<=m;++j)a[x].p[j]-=p[i][j]*b;
		}
		else
		{
			vis[i]=true;
			for(int j=i;j<=m;++j)p[i][j]=a[x].p[j];
			return true;
		}
	}
	return false;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			a[i].p[j]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i].c=read();
	sort(&a[1],&a[n+1]);
	int ans1=0,ans2=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(insert(i))++ans1,ans2+=a[i].c;
	printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	return 0;
}