【LG3973】[TJOI2015]线性代数

【LG3973】[TJOI2015]线性代数

题面

洛谷

题解

正常解法

一大堆矩阵乘在一起很丑对吧

化一下柿子：

\[D=(A*B-C)*A^T\\
\Leftrightarrow D=\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^na_j*b_{j,i}-c_i)*a_i\\
\Leftrightarrow D=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_i*a_j*b_{i,j}-\sum_{i=1}^na_i*c_i
\]

分析一下我们选或不选某个数的贡献：

因为\(\forall a_i\in{0,1}\)，所以我们可以将贡献算出

如果同时选\(i,j\)，则获得\(b_{i,j}+b_{j,i}\)的贡献

如果不选\(i\)，则减去\(c_i\)的贡献

这就是一个最大权闭合子图：

连边时，\(S\)连代表\((i,j)\)的点,容量\(b_{i,j}+b_{j,i}\)，

代表\(i\)的点连\(T\),容量\(c_i\)

而如果选\((i,j)\)必选\(i\)、\(j\)再连

\[(i,j)\rightarrow i(cap=\infty)\\
(i,j)\rightarrow j(cap=\infty)
\]

然后总和-最小割即可

然而因为下面的方法，我没有用最大流

奇怪的\(AC\)

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{i,j}-\sum_{i=1}^n c_i\)

八行主程序：

int main () {
	N = gi(); int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 1; j <= N; j++) ans += gi();
	for (int i = 1; i <= N; i++) ans -= gi();
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}