LeetCode之Unique Binry Search Trees

4月份很快就过半了，最近都在看WPF，有点落伍了...本来想写一点读书笔记的，还没想好要怎么写。所以为了能够达到每月一篇博客的目标，今天先说一个LeetCode上的面试题：Unique Binary Search Trees。

题目简单翻译过来就是说：

给定n个不同节点，问：可以构造出多少种异构的二叉搜索树。比方说n=3时有5种：

3          3       3       2       1
     \        /       /       /  \       \
      2     2      1       1    3       2
     /      /        \                      \
    1     1          2                      3

一般来说，遇到这种问题多半是找规律，总结出数学公式然后解决之。找规律前，首先要看我们有哪些可以利用的条件。

这里可用的条件很有限但也很明确：二叉搜索树。也就是其任意一部分二叉树都满足左子树节点都小于（或者大于）根节点；右子树节点都大于（或者小于）根节点。

我们已经有了n=3的结果，那么来看看n=4时的情况。我们知道，任何一个节点都可以成为一个根节点，那么：

• 如果以1为树根，那么剩下的三个节点都分布在该树的右子树上；
• 如果以2为树根，那么节点1必然是其左子树上的唯一节点，而3、4只可能在其优节点上；
• 如果以3为树根，那么节点2、3在其左子树上，而节点4是其右子树上的唯一节点；
• 如果以4为树根，那么甚于节点都在其左子树上；

这个简单的分析过程很快就将规律呈现了出来！！

对于n=4的情况，其异构结果就是各种独立情况下，左子树和右子树异构方式的排列数之和。用公式表示就是：f(4) = f(0) * f(3) + f(1) * f(2) + f(2) * f(1) + f(3) * f(0)。整一个典型的递归实现。唯一需要考虑的点就是你需要缓存一下中间数据，因为f(2)和f(3)分别被调用了2次。

 class Solution {
 public:
     int numTrees(int n) {
         static vector<int> cached(, );
         if (n > cached.size())
         {
             cached.resize(n, );
         }
 
         if ( == n)
         {
             return ;
         }
 
         if (cached[n - ] != )
         {
             return cached[n - ];
         }
         else
         {
             for (int i = ; i < n; ++i)
             {
                 cached[n - ] += numTrees(i) * numTrees(n - i - );
             }
 
             return cached[n - ];
         }
     }
 };

顺带因为打算以后要有Python，所以附带上Python的代码。刚开始学着写Python，写着有点难过...（有没有更好的写法？）

 class Solution:
     # @return an integer
     def numTrees(self, n):
         if 0 == n:
             return 1
 
         cached = [1]
         if n > len(cached):
             result = 0;
             for i in range(n):
                 index = n - i - 1
 
                 left_part_result = self.numTrees(i)
                 right_part_result = self.numTrees(index)
 
                 result += left_part_result * right_part_result
 
                 if index == len(cached):
                     cached[len(cached):] = [right_part_result]
 
             cached[len(cached):] = [result]
 
             return result
         else:
             return cached[n - 1];

这题目的背景是一个称之为Catalan Number的数。也可以参看百度百科。通过了解Catalan Number，我们会发现他的诸多应用。比方说凸多边形的最优三角划分就是这个问题的拓展。