BZOJ1220 HNOI2002 跳蚤 【容斥原理+高精度】*

BZOJ1220 HNOI2002 跳蚤

---

Description

Z城市居住着很多只跳蚤。在Z城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有N+1个自然数。其中最后一个是M，而前N个数都不超过M，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数S，然后向左，或向右跳S个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。比如当N=2，M=18时，持有卡片(10, 15, 18)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳10个单位长度，然后再连向左跳3次，每次15个单位长度，最后再向右连跳3次，每次18个单位长度。而持有卡片(12, 15, 18)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。当确定N和M后，显然一共有MN张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数N和M。

Output

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数。1≤M≤10^8，1≤N≤M，且M^N≤10^{16}。（注意：这个数据范围是错的，此题需要高精度。）

Sample Input

2 4

Sample Output

12

HINT

此题需要高精度！

---

我们考虑有解的情况是什么
就是对于所有的i∈[1,n]的gcd和m互质
直接统计不好搞，就可以用容斥的思想
考虑所有解减去不合法的解
那么如何考虑减去不合法解呢?
考虑容斥一下，累加最大公约数是i的方案数
然后对于i的容斥系数是(−1)^i的质因子数
所以对于每个i的贡献是((m/i)^n*(−1)i的质因子数)
前面一部分的意思是每个位置都可以选择i的倍数的方案数，这也是容斥系数的根源所在
for example：
60=2∗2∗3∗5
一共有2,3,5三个质因子
我们考虑60的贡献
在2,3,5减去了贡献
在2∗3,2∗5,3∗5加上了贡献
所以在60处贡献减去（因为考虑的是减去不合法方案）
然后看10的贡献
在2,5减去了贡献
所以在10加上贡献
就很显然了

---

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 #define N 1010
 #define LL long long
 #define fu(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
 #define fd(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
 const int Base=;
 struct Big{
   int len,w,t[N];
   Big(){len=w=;memset(t,,sizeof(t));}
 }ans;
 Big change(int a){
   Big c;c.len=;
   if(a<)c.w=-;
   a=abs(a);
   while(a)c.t[++c.len]=a%Base,a/=Base;
   return c;
 }
 void print(Big c){
   if(c.w==-)printf("-");
   printf("%d",c.t[c.len]);
   fd(i,c.len-,)printf("%04d",c.t[i]);
   printf("\n");
 }
 bool unsigned_cmp(Big a,Big b){//只比较数字大小
   if(a.len>b.len)return ;
   if(a.len<b.len)return ;
   fd(i,a.len,){
     if(a.t[i]>b.t[i])return ;
     if(a.t[i]<b.t[i])return ;
   }
   return ;
 }
 Big unsigned_add(Big a,Big b){
   Big c;c.len=max(a.len,b.len);
   fu(i,,c.len)c.t[i]=a.t[i]+b.t[i];
   fu(i,,c.len){
     if(c.t[i]>Base){
       c.t[i]-=Base;
       c.t[i+]++;
       if(i==c.len)c.len++;
     }
   }
   return c;
 }
 Big unsigned_sub(Big a,Big b){
   Big c;c.len=max(a.len,b.len);
   fu(i,,c.len)c.t[i]=a.t[i]-b.t[i];
   fu(i,,c.len){
     if(c.t[i]<){
       c.t[i]+=Base;
       c.t[i+]--;
     }
   }
   fd(i,c.len,){
     if(!c.t[i])c.len--;
     else break;
   }
   return c;
 }
 Big add(Big a,Big b){
   Big c;
   if(unsigned_cmp(b,a))swap(a,b);
   if(a.w==&&b.w==)c=unsigned_add(a,b),c.w=;
   if(a.w==&&b.w==-)c=unsigned_sub(a,b),c.w=;
   if(a.w==-&&b.w==)c=unsigned_sub(a,b),c.w=-;
   if(a.w==-&&b.w==-)c=unsigned_add(a,b),c.w=-;
   return c;
 }
 Big sub(Big a,Big b){b.w=-b.w;return add(a,b);}
 Big mul(Big a,Big b){
   Big c;c.w=a.w*b.w;
   c.len=a.len+b.len-;
   fu(i,,a.len)
     fu(j,,b.len)
       c.t[i+j-]+=a.t[i]*b.t[j];
   fu(i,,c.len){
     if(c.t[i]>Base){
       c.t[i+]+=c.t[i]/Base;
       c.t[i]%=Base;
       if(i==c.len)c.len++;
     }
   }
   return c;
 }
 Big fast_pow(Big a,int b){
   Big ans;ans.t[]=;
   if((b&)&&a.w==-)ans.w=-;
   while(b){
     if(b&)ans=mul(ans,a);
     b>>=;
     a=mul(a,a);
   }
   return ans;
 }
 int n,m;
 int p[N],cnt=;
 bool check(int vl){
   fu(i,,sqrt(vl))
     if(vl%i==)return ;
   return ;
 }
 void divide(int num){
   fu(i,,num){
     if(num%i==&&check(i)){
       p[++cnt]=i;
       while(num%i==)num/=i;
     }
   }
 }
 void dfs(int tmp,LL sum,int typ){
   if(tmp>cnt)return;
   dfs(tmp+,sum,typ);
   sum*=p[tmp];typ*=-;
   Big now=change(sum);
   now=fast_pow(change(m/sum),n);
   now.w=typ;
   ans=add(ans,now);
   dfs(tmp+,sum,typ);
 }
 int main(){
   scanf("%d%d",&n,&m);
   divide(m);
   ans=fast_pow(change(m),n);
   dfs(,1ll,);
   print(ans);
   return ;
 }