Splay 区间操作

据大佬说，\(Splay\)是序列操作之王。\(Splay\)是一种平衡树，通过伸展（\(Splay\)），在不改变中序遍历的前提下变换根的位置，从而快速的进行序列操作

\(Splay\)最常见的序列操作是序列反转了：给定一段区间\([L,R]\)，要求反转这一段区间

一次\(Splay\)操作复杂度：均摊\(O(\log\ N)\)

一般情况下：我们对一段区间这样操作：选定\(L - 1\)这个节点，Splay到\(root\)，因为\(R\)在\(L\)右边，所以现在\(R\)一定在根（\(L- 1\)）的右子树内。

此时我们再选定\(R + 1\)这个节点，将其Splay到根的右儿子处，因为满足BST性质（这里满足BST的不是值的大小而是区间的编号大小），\(R + 1\)这一节点的左子树就是需要操作的区间（依据BST，这个子树的内所有节点编号比\(R + 1\)小，比\(L - 1\)大，即\(\in[L,R]\) ）.

于是我们参考线段树的\(lazy\)属性，让这个节点代表一整棵树，打上标记需要时再具体修改即可。

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几个基本操作

\(Splay\)

若一条折线则转两次自己，直线则转完爸爸再转自己，要是还差一个点到目标则只转一次，以便使\(Splay\)保持平衡（这里的平衡和Treap的平衡不一样）

bool lor(int id){return id == ch[fa[id]][0] ? 0 : 1;}
void spin(int id){
	int F = fa[id], d = lor(id);//爸爸，和爸爸的关系
	fa[id] = fa[F];//夺取爸爸的权威，（原则：先平等在贬职）
	if(fa[F])ch[fa[F]][lor(F)] = id;//接受爷爷的认可 && 保证0号点没有儿子
	fa[F] = id;//现在我是爸爸的爸爸了
	ch[F][d] = ch[id][d ^ 1];//爸爸的新儿子
	if(ch[F][d])fa[ch[F][d]] = F;//保证0号点没有爸爸
	ch[id][d ^ 1] = F;//爸爸比我大，去另一边
	pushup(F), pushup(id);
	}
void splay(int id, int goal){//操作节点和目标节点的爸爸
	while(fa[id] != goal){//直到爸爸是目标节点的爸爸为止（成为目标为止）
		int F = fa[id];
		if(fa[F] == goal)spin(id);//爷爷是目标爸爸，则目标就为爸爸
		else if(lor(id) ^ lor(F))spin(id),spin(id);//折线两次自己
		else spin(F),spin(id);//直线先爸爸在自己
		}
		if(!goal)root = id;//由于我们判断的是目标的爸爸，所以不会动根，当目标是根的爸爸（虚节点）的时候变一下根
	}

\(find \ \&\ insert\)

注意\(find\)在区间操作中返回编号和\(insert\)完\(Splay\)到\(root\)以维护\(Splay\)的平衡性即可

int find(int id, int rank){
	pushdown(id);
	if(size[ch[id][0]] >= rank)return find(ch[id][0], rank);
	else if(size[ch[id][0]] + 1 == rank)return id;//注意返回编号而不是值
	else return find(ch[id][1], rank - size[ch[id][0]] - 1);
	}
void insert(int &id, int F, int v){
	if(!id){id = New(v, F);splay(id, 0);return ;}//每插入一个点要把他Splay到根
	if(v < val[id])insert(ch[id][0], id, v);
	else insert(ch[id][1], id, v);
	}

\(Reverse\)

注意添加哨兵节点后每个节点 $ + 1$即可

void Reverse(int l,int r){
	int x = find(root, l),y = find(root, r + 2);//哨兵节点，所以区间加一
	splay(x,0);splay(y,root);
	lazy[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
	}

P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）

题目背景

这是一道经典的Splay模板题——文艺平衡树。

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列，其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有序序列是5 4 3 2 1，翻转区间是[2,4]的话，结果是5 2 3 4 1

输入输出格式

输入格式：

第一行为n,m n表示初始序列有n个数，这个序列依次是 (1,2, \cdots n-1,n)(1,2,⋯n−1,n) m表示翻转操作次数

接下来m行每行两个数 [l,r][l,r] 数据保证 1 \leq l \leq r \leq n 1≤l≤r≤n

输出格式：

输出一行n个数字，表示原始序列经过m次变换后的结果

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一棵二叉树中，翻转即为树内所有左右节点翻转

在这一题中，我们需要翻转区间。参考上面的分析，我们可以给树上节点打上一个\(lazy\)来表示区间是否应该翻转，若有翻转，则交换自己的左右儿子，同时下放懒标记即可

有几点注意事项：

区间修改万一包括最左（右）节点，我们没有更左（右）节点能\(Splay\)到根或者根的右儿子节点，所以我们需要增加两个哨兵节点表示\(-Inf\)和\(INF\)来防止RE。

我的\(Splay\)和别人的不太一样，有些人Splay的第二个参数是目标节点，而我那个版本是目标节点的爸爸，为了防止出现bug，\(0\)号节点（根的爸爸，也称为虚点）不能有儿子或父亲，所以维护儿子父亲的时候记的判断一下

这个版本的\(Splay\)时没有涉及根节点的交换转移，所以每次\(Splay\)玩需要判断一下：若目标节点是根节点，则手动换一下根

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
typedef long long LL;
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 100019,INF = 1e9;
int ch[maxn][2];
int val[maxn], lazy[maxn];
int size[maxn];
int fa[maxn];
int root, tot;
int New(int F,int v){
	fa[++tot] = F;
	size[tot] = 1;
	lazy[tot] = 0;
	val[tot] = v;
	return tot;
	}
void pushup(int id){size[id] = size[ch[id][0]] + size[ch[id][1]] + 1;}
void pushdown(int id){
	if(lazy[id]){
		swap(ch[id][0], ch[id][1]);
		lazy[ch[id][0]] ^= 1;
		lazy[ch[id][1]] ^= 1;
		lazy[id] = 0;
		}
	}
bool lor(int id){return id == ch[fa[id]][0] ? 0 : 1;}
void spin(int id){
	int F = fa[id], d = lor(id);//爸爸，和爸爸的关系
	fa[id] = fa[F];//夺取爸爸的权威，（原则：先平等在贬职）
	if(fa[F])ch[fa[F]][lor(F)] = id;//接受爷爷的认可 && 保证0号点没有儿子
	fa[F] = id;//现在我是爸爸的爸爸了
	ch[F][d] = ch[id][d ^ 1];//爸爸的新儿子
	if(ch[F][d])fa[ch[F][d]] = F;//保证0号点没有爸爸
	ch[id][d ^ 1] = F;//爸爸比我大，去另一边
	pushup(F), pushup(id);
	}
void splay(int id, int goal){//操作节点和目标节点的爸爸
	while(fa[id] != goal){//直到爸爸是目标节点的爸爸为止（成为目标为止）
		int F = fa[id];
		if(fa[F] == goal)spin(id);//爷爷是目标爸爸，则目标就为爸爸
		else if(lor(id) ^ lor(F))spin(id),spin(id);//折线两次自己
		else spin(F),spin(id);//直线先爸爸在自己
		}
		if(!goal)root = id;//由于我们判断的是目标的爸爸，所以不会动根，当目标是根的爸爸（虚节点）的时候变一下根
	}
int find(int id, int rank){
	pushdown(id);
	if(size[ch[id][0]] >= rank)return find(ch[id][0], rank);
	else if(size[ch[id][0]] + 1 == rank)return id;
	else return find(ch[id][1], rank - size[ch[id][0]] - 1);
	}
void insert(int &id, int F, int v){
	if(!id){id = New(v, F);splay(id, 0);return ;}//每插入一个点要把他Splay到根
	if(v < val[id])insert(ch[id][0], id, v);
	else insert(ch[id][1], id, v);
	}
void Reverse(int l,int r){
	int x = find(root, l),y = find(root, r + 2);//哨兵节点，所以区间加一
	splay(x,0);splay(y,root);
	lazy[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
	}
int num,nr;
int main(){
	num = RD();nr = RD();
	for(int i = 0;i <= num + 1;i++)insert(root, 0, i);
	for(int i = 1;i <= nr;i++){
		int l = RD(),r = RD();
		Reverse(l,r);
		}
	for(int i = 1;i <= num;i++)printf("%d ",val[find(root,i + 1)]);
	return 0;
	}