CH5103 传纸条【线性dp】
5103 传纸条 0x50「动态规划」例题
描述
给定一个 N*M 的矩阵A,每个格子中有一个整数。现在需要找到两条从左上角 (1,1) 到右下角 (N,M) 的路径,路径上的每一步只能向右或向下走。路径经过的格子中的数会被取走。两条路径不能经过同一个格子。求取得的数之和最大是多少。N,M≤50。
输入格式
第一行有2个用空格隔开的整数n和m,表示有n行m列(1<=n,m<=50)。
接下来的n行是一个n*m的矩阵,每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
一个整数,表示答案。
样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
数据范围与约定
- 30%的数据满足:1<=m,n<=10
100%的数据满足:1<=m,n<=50
来源
CCF NOIP2008 T3
题意:n*m的格子里每个格子有一个权值,从(1,1)走到(n,m)两条路,(只能向下或者向右)求路径之和。走过的格子只算一次权值。
思路:
把“路径长度”即当前走过的步数作为DP的“阶段”。【因为只能向下或向右,走到(n,m)时的路径长度是n+m-2】
每一个阶段中,把两条路径同时扩展一步,路径长度增加1,从而转移到下一个阶段。
还需确定两条路径当前的末尾位置。并且 x1+y1 = x2 + y2 = i + 2
所以就可以用三维dp维护,每次有4种扩展方式。并且要考虑扩展后是否两个点坐标相同。
目标是dp[n+m-2][n][n]
#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<map> #define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long LL; int n, m;
const int maxn = ;
int g[maxn][maxn];
int dp[maxn * ][maxn][maxn] = {}; int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = ; i <= n; i++){
for(int j = ; j <= m; j++){
scanf("%d", &g[i][j]);
}
} dp[][][] = g[][];
for(int i = ; i <= n + m - ; i++){
for(int x1 = ; x1 <= min(n, i + ); x1++){
for(int x2 = ; x2 <= min(n, i + ); x2++){
int y1 = i + - x1, y2 = i + - x2;
if(x1 == x2 && y1 == y2){
dp[i + ][x1][x2] = max(dp[i + ][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + ]);
dp[i + ][x1 + ][x2 + ] = max(dp[i + ][x1 + ][x2 + ], dp[i][x1][x2] + g[x1 + ][y1]);
}
else{
dp[i + ][x1][x2] = max(dp[i + ][x1][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + ] + g[x2][y2 + ]);
dp[i + ][x1 + ][x2 + ] = max(dp[i + ][x1 + ][x2 + ], dp[i][x1][x2] + g[x1 + ][y1] + g[x2 + ][y2]);
} if(x1 == x2 + && y1 + == y2){
dp[i + ][x1][x2 + ] = max(dp[i + ][x1][x2 + ], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + ]);
}
else{
dp[i + ][x1][x2 + ] = max(dp[i + ][x1][x2 + ], dp[i][x1][x2] + g[x1][y1 + ] + g[x2 + ][y2]);
} if(x1 + == x2 && y1 == y2 + ){
dp[i + ][x1 + ][x2] = max(dp[i + ][x1 + ][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + ][y1]);
}
else{
dp[i + ][x1 + ][x2] = max(dp[i + ][x1 + ][x2], dp[i][x1][x2] + g[x1 + ][y1] + g[x2][y2 + ]);
}
}
}
}
printf("%d\n", dp[n + m - ][n][n]);
return ;
}
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