BZOJ 2510: 弱题( 矩阵快速幂 )

每进行一次, 编号为x的数对x, 和(x+1)%N都有贡献

用矩阵快速幂, O(N³logK). 注意到是循环矩阵, 可以把矩阵乘法的复杂度降到O(N²). 所以总复杂度就是O(N²logK)

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#include<bits/stdc++.h>

 

using namespace std;

 

const int maxn = 1009;

 

int N, M, K, cnt[maxn];

double ans[maxn], Q[maxn], T[maxn];

 

void init_Q() {

memset(Q, 0, sizeof Q);

Q[0] = 1.0 - double(1) / M;

Q[N - 1] = double(1) / M;

}

 

void MUL(double a[]) {

memset(T, 0, sizeof T);

for(int i = 0; i < N; i++)

for(int j = 0; j < N; j++)

   T[i] += a[j] * Q[(N  + i - j) % N];

for(int i = 0; i < N; i++)

   a[i] = T[i];

}

 

int main() {

scanf("%d%d%d", &N, &M, &K);

for(int i = 0; i < N; i++) scanf("%d", cnt + i);

init_Q();

ans[0] = 1;

for(; K; K >>= 1) {

if(K & 1) MUL(ans);

MUL(Q);

}

for(int i = 0; i < N; i++) {

double t = 0;

for(int j = 0; j < N; j++)

   t += double(cnt[j]) * ans[(j - i + N) % N];

printf("%.3lf\n", t);

}

return 0;

}

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2510: 弱题

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Description

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有a_i个，并保证Σa_i = M。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

 

Input

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。

第2行包含N个非负整数a_i，表示初始标号为i的球有a_i个。

 

Output

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

 

Sample Input

2 3 2
3 0

Sample Output

1.667
1.333

HINT

【样例说明】

第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。

第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。

【数据规模与约定】

对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；

对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；

对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；

对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；

对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

Source

2011福建集训