[算法]分治算法(Divide and Conquer)

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分治算法

　　在计算机科学中，分治法是建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，这些子问题互不相交，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

　　分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

• • 问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
  • 问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
  • 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
  • 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

　　分治法的三个步骤是：

1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干子问题，这些子问题都是原问题规模较小的实例。
2. 解决（Conquer）：递归地求解各子问题。如果子问题规模足够小，则直接求解。
3. 合并（Combine）：将所有子问题的解合并为原问题的解。

　　以leetcode中Maximum Subarray为例：

　　　　Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6。

　　　　思路：利用分治法，最大连续子序列要么在数组的左半边，要么在数组的右半边，要么经过数组的中点。

　　　　

int maxSubArray(vector<int>& nums)
{
    if(nums.size() == )//递归退出
    {
        return nums[];
    }    
 
    auto mid =nums.begin() + (nums.end() - nums.begin())/;
 
    vector<int> left_vec(nums.begin(),mid);
    int left = maxSubArray(left_vec);//要么在数组的左边
 
    vector<int> right_vec(mid,nums.end());//要么在数组的右边
    int right = maxSubArray(right_vec);
    //以下计算通过数组中间的情况，分别计算left_max和right_max，相加得到mid_max
    int left_max = -;
    int left_add = ;
    for(auto iter = mid-;iter != nums.begin();iter--)
    {
        left_add += *iter;
        if(left_add > left_max)
        {
            left_max = left_add;
        }
    }
    left_add += *nums.begin();
    if(left_add > left_max)
    {
        left_max = left_add;
    }
 
    int right_max = -;
    int right_add = ;
    for(auto iter = mid;iter != nums.end();iter++)
    {
        right_add += *iter;
        if(right_add > right_max)
        {
            right_max = right_add;
        }
    }
    right_max = right_max >= right_add ? right_max : right_add;
 
    int mid_max = right_max + left_max;
 
    //right,left,mid_max三个比大小，大的为答案
    int rl_max = (right > left? right:left);
    return mid_max > rl_max ? mid_max : rl_max;
}