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分治算法

  在计算机科学中,分治法是建基于多项分支递归的一种很重要的算法范式。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,这些子问题互不相交,直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。

  分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

    • 问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
    • 问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质
    • 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
    • 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子问题

  分治法的三个步骤是:

    1. 分解(Divide):将原问题分解为若干子问题,这些子问题都是原问题规模较小的实例。
    2. 解决(Conquer):递归地求解各子问题。如果子问题规模足够小,则直接求解。
    3. 合并(Combine):将所有子问题的解合并为原问题的解。

  以leetcode中Maximum Subarray为例:

    Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6。

    思路:利用分治法,最大连续子序列要么在数组的左半边,要么在数组的右半边,要么经过数组的中点。

    

int maxSubArray(vector<int>& nums)
{
if(nums.size() == )//递归退出
{
return nums[];
} auto mid =nums.begin() + (nums.end() - nums.begin())/; vector<int> left_vec(nums.begin(),mid);
int left = maxSubArray(left_vec);//要么在数组的左边 vector<int> right_vec(mid,nums.end());//要么在数组的右边
int right = maxSubArray(right_vec);
//以下计算通过数组中间的情况,分别计算left_max和right_max,相加得到mid_max
int left_max = -;
int left_add = ;
for(auto iter = mid-;iter != nums.begin();iter--)
{
left_add += *iter;
if(left_add > left_max)
{
left_max = left_add;
}
}
left_add += *nums.begin();
if(left_add > left_max)
{
left_max = left_add;
} int right_max = -;
int right_add = ;
for(auto iter = mid;iter != nums.end();iter++)
{
right_add += *iter;
if(right_add > right_max)
{
right_max = right_add;
}
}
right_max = right_max >= right_add ? right_max : right_add; int mid_max = right_max + left_max; //right,left,mid_max三个比大小,大的为答案
int rl_max = (right > left? right:left);
return mid_max > rl_max ? mid_max : rl_max;
}

    

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