题目描述

Farmer John要带着他的N头奶牛,方便起见编号为1…N,到农业展览会上去,参加每年的达牛秀!他的第iii头奶牛重量为wi,才艺水平为ti​,两者都是整数。 在到达时,Farmer John就被今年达牛秀的新规则吓到了:

(一)参加比赛的一组奶牛必须总重量至少为W(这是为了确保是强大的队伍在比赛,而不仅是强大的某头奶牛),并且

(二)总才艺值与总重量的比值最大的一组获得胜利。

FJ注意到他的所有奶牛的总重量不小于W,所以他能够派出符合规则(一)的队伍。帮助他确定这样的队伍中能够达到的最佳的才艺与重量的比值。

题解

经典的0/1分数规划模型。

最大化ans=Σai*ti/Σai*wi (其中ai是0/1表示选不选)

套路的二分加判断。

简单推一下。

二分判断的本质是要找,是否存在和mid有关的一组解,从而来更新二分的范围。

假设mid<=ans的话,

那么,mid<=Σai*ti/Σai*wi

Σai*ti-Σai*wi*mid>=0

Σai*(ti-wi*mid)>=0

那么,判断就转化为了,是否存在一组ai,

满足ai*wi>=W,并且Σai*(ti-wi*mid)>=0

那么只要最大化这个式子,看是否大于等于0

0/1分数规划ai就是一个选择或者不选的问题。

每个牛有一个价值ti-wi*mid,重量wi,

所以0/1背包即可。

wi太大?

W很小,>W的话,直接放入W+1即可。

如果f[W],f[W+1]>=0的话,返回true反之false

注意0/1背包循环顺序(天啊)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=;
const int M=;
const double inf=19260817487525.00;
const int eps=0.0001;
int n,w0;
double ans;
double l,r;
double f[M];
int w[N],t[N];
double v[N];
bool che(double mid){
for(int i=;i<=n;i++){
v[i]=(double)t[i]-(double)w[i]*mid;
}
for(int i=;i<=w0+;i++)f[i]=-inf;f[]=0.00;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=w0+;j>=;j--){
f[min(j+w[i],w0+)]=max(f[min(j+w[i],w0+)],f[j]+v[i]);
}
}
return (f[w0]>=eps||f[w0+]>=eps);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&w0);
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&w[i],&t[i]);
r+=(double)t[i];
}
l=0.00;
while(r-l>0.0001){
double mid=(l+r)/2.0;
bool fl=che(mid);
if(fl) ans=mid,l=mid;
else r=mid;
}
//cout<<ans<<endl;
int op=ans*;
printf("%d",op);
return ;
}

总结:
1.0/1分数规划问题,关键点在于对二分的判断的模型构建。

必须要推判定mid<=ans(这个是最大化ans的情况)的条件(注意是判断存在性),配合每个物品选择或者不选择,构建模型。

2.对于>W的就认为是W+1的条件,是因为这只是要判定,>W都符合了,我们不关心到底是多少。

值得注意。

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