【算法专题】后缀自动机SAM
后缀自动机是用于识别子串的自动机。
学习推荐:陈立杰讲稿,本文记录重点部分和感性理解(论文语言比较严格)。
刷题推荐:[后缀自动机初探],题目都来自BZOJ。
【Right集合】
后缀自动机真正优于后缀树的方面在于:结合了有限状态自动机,从而实现了O(n)的时空复杂度。
trans(s,str)表示s+str到达的状态。
ST(str)=trans(init,str)即包括了str这一子串的唯一状态(一个子串只能属于一个状态)
定义字符串a在S中出现的右端点位置集合Right(a)=r1,r2...rn。
SAM中一个状态s的Right集合为Right(s),那么状态s表示所有[Right(a)=Right(s)的子串a],那么实际上状态s表示的子串a的长度在一个区间内,记作[Min(s),Max(s)]。字符串越短,Right集合越大。
容易证明对于任意状态a和b,Right(a)和Right(b)要么包含要么不相交。(很显然的结论,只是论文的证明比较严格化)
★在后缀自动机中,一个状态s(或称“节点s”)表示的是Right(a)=Right(s)的若干子串a,其长度区间为[MIn(s),Max(s)],从而达到状态数O(n)的目的。
Right集合形成的树形包含关系称为Parent Tree,树边由孩子指向父亲,是SAM中的失配边。
Parent树从上往下,子串长度扩大,Right集合变小,父节点的Right集合包含子节点的Right集合。
fa=Parent(s)当且仅当fa是使Right(fa)最小且满足Right(s)⊂Right(fa)的结点,(从儿子到父亲,就是子串稍微缩短,Right集合变大)
另有Max(fa)=Min(s)-1,实质上是要求fa和s之间没有一个Right子集x满足Right(s)⊊Right(x)⊊Right(fa)。
【线性构造SAM】
线性构造采用增量法,即已知字符串T的SAM(T),L=Len(T),在末尾加入字符x,构造SAM(Tx),转移如下:
①实边转移规则:t=trans(s,x)表示s--->t标号为x的边,若Right(s)={r1,r2...rn},则Right(t)={ri+1|s[ri+1]=x}。
②虚边转移规则:Parent树边满足Right(s)⊊Right(fa),Max(fa)=Min(s)-1(含义如上所述)
加入x,考虑所有Right集合包含L的结点v1,v2...vk,显然它们在Parent树上是一条从根到叶子的链。
定义叶子结点v1=p=ST(T)(即p代表整个串),Right(p)={L},不妨它们从后代到祖先排为v1=p...vk=root。
同时新建结点np=ST(Tx),Right(np)={L+1}。
考虑节点v,Right(v)={r1,r2...rn=L}
根据转移规则①,如果除了rn外不存在S[ri+1]=x,那么节点v不存在trans(v,x)。
根据转移规则②,越往上Right集合逐渐扩大直至节点vp存在trans(vp,x),那么v1~vp-1只须向np连出标号为x的边(np=trans(v,x)),而vp~vk都已经存在trans(v,x)。
令trans(vp,x)=q,当Max(q)=Max(vp)+1时,只须在q的Right集合中插入L+1。
下面重点讨论Max(q)>Max(vp)+1的情况。
eg.
T+x:aaabcaaabcaa+b
vp:aaabcaaabcaa Max(vp)=2
q:aaabcaaabcaa Max(q)=4
根据实边的转移规则,实际上节点q不止由vp转移过来,也由vp在Parent树上的儿子o转移过来(多条实边连入):
o:aaabcaaabcaa Max(o)=3
可见,o才满足Max(q)=Max(o)+1。trans(vp,b)形成了aab,而trans(o,b)形成了aaab,由于有限状态自动机的性质Right(aab)=Right(aaab)所以合并成同一个点p。
但是当末尾+b时,我们发现Right(aab)>Right(aaab)也就是出现了新的Right集合aab——Right(aab)=Right(q)+Right(np),所以创造新的节点nq:
nq:aaabcaaabcaab Max(nq)=3
Right(nq)实际上是Right(q)和Right(parent(q))夹出来的新Right集合(aab之前被并入q现在分离出来),并且vp将改为连向nq。
vp的祖先中连向q的部分要改为连向nq,因为这些点连向q说明+x后Right集合=Right(q),那么现在就要连向nq。
线性构造SAM的具体步骤如下:
1.新建np,找到vp,vp之前的点连向np。若不存在vp则fa(np)=-1。
2.若len(q)=len(vp)+1,fa(np)=q,结束。
3.len(q)>len(vp)+1,新建节点nq复制q信息并修改len。
4.从vp到根若连向q改为nq。
void insert_SAM(int c){
int np=++size;
t[np].len=t[last].len+;
int x=last;
last=np;
while(x&&!t[x].t[c])t[x].t[c]=np,x=t[x].fa;
if(!x)t[np].fa=root;else{
int y=t[x].t[c];
if(t[y].len==t[x].len+)t[np].fa=y;else{
int nq=++size;
t[nq]=t[y];//
t[nq].len=t[x].len+;
t[nq].fa=t[y].fa;t[y].fa=t[np].fa=nq;
while(x&&t[x].t[c]==y)t[x].t[c]=nq,x=t[x].fa;//
}
}
} last=size=root=;
for(int i=;i<=m;i++)insert_SAM(s[i]-'a');
注意:后缀自动机节点数是2n。
【技巧和应用】
后缀自动机没有高论,本质上仅仅是识别子串的自动机,为了压缩时空复杂度将Right集合相同的子串集合作为一个节点,然后构造自动机的一般属性:trans边(实边)和fail边(虚边)。
1.节点的本质:每个节点是Right集合,是Right集合相同的子串集合。
2.实边:后接字符。
从x的某个子串后面+一个字母,能够得到y的某个子串。(所以从根沿子串走能得到子串所在节点)
3.虚边:前删字符。(匹配失败fail)
删除最少的字符使得Right集合变化。故该串在Parent树上的祖先都是该串的后缀。
1.Right集合:SAM中每个节点是right集合。
每次的np称为“关键节点”,这个节点的最长字符串是以该Right点结尾的前缀。(它最终不一定是叶子)。
Right集合大小:np值为1,按Parent树建边进行dfs统计即可。Right集合大小就是每个状态代表串的出现次数。
统计Right集合具体的话可以用线段树合并或set启发式合并。
(实边:每个节点x连出实边y相当于在串s(x)后+x到达另一个节点(right尽可能大),这个到达的节点串的前面可能会延伸。
每一条从根到节点的路径都是一个子串对应的状态。虚边:连接右端点位置相同而长度不同子串,该串在Parent树上的祖先都是该串的后缀,这就可以用来作为fail树。)
4.匹配:一个串从自动机根节点往下沿实边走并cnt++,不能走就沿虚边fail至能继续走的点y(cnt=len(y)+1),然后往下走。因为Parent的父亲一定是后缀,这样能识别出这个串和SAM的以每个位置结尾的最长公共子串的节点。这些识别点在Parent树上的所有祖先节点合起来就是所有公共子串。
例题:【BZOJ】4032: [HEOI2015]最短不公共子串(LibreOJ #2123)
5.后缀树:对逆序串建立SAM,parent树就是原串的后缀树,后缀的LCP就是后缀树上两个np的LCA。
6.找到指定串节点:在Parent上从对应右端点位置的“前缀开端节点”倍增到Len合适的位置。
7..子串数:对每个点x,Max(x)-Max(fa(x))得到的就是该点的长度区间即子串数,所有点的子串数就是子串总数。
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