2018.09.28 牛客网contest/197/C期望操作数（状态转移+前缀和递推）

传送门

比赛手动打了四项感觉有规律，调了40min+之后重新手算了后面几项发现只有前四项满足规律233。

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首先这道题只跟q−xq-xq−x有关。

我们尝试找找递推关系。

我们令f[i]f[i]f[i]表示区间左右端点之差为i时的期望步数。

那么显然有：

f[0]=f[0]=f[0]=不存在（方便计算可以看做0）

f[1]=(f[0]+f[1])2+1f[1]=\frac {(f[0]+f[1])} {2}+1f[1]=2(f[0]+f[1])​+1

f[2]=(f[0]+f[1]+f[2])3+1f[2]=\frac {(f[0]+f[1]+f[2])} {3}+1f[2]=3(f[0]+f[1]+f[2])​+1

…

f[k]=∑i=0kf[i]k+1+1f[k]=\frac {\sum_{i=0} ^kf[i]} {k+1}+1f[k]=k+1∑i=0k​f[i]​+1

接着我们考虑用前k−1k-1k−1项的前缀和sum[k−1]=absum[k-1]=\frac {a}{b}sum[k−1]=ba​来推出f[k]f[k]f[k]和sum[k]sum[k]sum[k]。

显然有：

f[k]=sum[k−1]+f[k]k+1+1f[k]=\frac {sum[k-1]+f[k]} {k+1}+1f[k]=k+1sum[k−1]+f[k]​+1

=>f[k]∗k=sum[k−1]+k+1f[k]*k=sum[k-1]+k+1f[k]∗k=sum[k−1]+k+1

带入sum[k−1]=a/bsum[k-1]=a/bsum[k−1]=a/b得出：

f[k]∗k=a+b∗(k+1)bf[k]*k=\frac {a+b*(k+1)}{b}f[k]∗k=ba+b∗(k+1)​

=>f[k]=a+b∗(k+1)b∗kf[k]=\frac {a+b*(k+1)}{b*k}f[k]=b∗ka+b∗(k+1)​

=>sum[k]=ab+a+b∗(k+1)b∗ksum[k]=\frac {a}{b}+\frac {a+b*(k+1)}{b*k}sum[k]=ba​+b∗ka+b∗(k+1)​

=>sum[k]=(k+1)∗(a+b)b∗ksum[k]=\frac {(k+1)*(a+b)}{b*k}sum[k]=b∗k(k+1)∗(a+b)​

由于答案要用逆元，因此我们维护两个前缀数组a[],b[]a[],b[]a[],b[]，用a[i]b[i]\frac{a[i]}{b[i]}b[i]a[i]​来表示sum[i]sum[i]sum[i]就行了。

于是线性递推出a,ba,ba,b数组就ok了。

注意并不能用线性筛逆元，并且需要时刻维护a,ba,ba,b数组是小于modmodmod的。

p.s.可以用数论知识来证明a,ba,ba,b的取模对答案没有影响，这里就不证了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
inline ll ksm(ll x,int p){
    ll ret=1;
    while(p){
        if(p&1)ret=ret*x%mod;
        x=x*x%mod,p>>=1;
    }
    return ret;
}
ll a[10000005],b[10000005];
int main(){
    a[0]=0,b[0]=1;
    for(int i=1;i<=10000000;++i)a[i]=(a[i-1]+b[i-1])*(i+1)%mod,b[i]=b[i-1]*i%mod;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll l=read(),r=read(),tmp=r-l;
        if(!tmp){puts("0");continue;}
        printf("%lld\n",(a[tmp-1]+b[tmp-1]*(tmp+1)%mod)%mod*ksm((b[tmp-1]*tmp%mod),mod-2)%mod);
    }
    return 0;
}