CF Grakn Forces 2020 1408E Avoid Rainbow Cycles（最小生成树）

1408E Avoid Rainbow Cycles

概述

非常有趣的题目（指解法，不难，但很难想）

非常崇拜300iq，今天想做一套div1时看见了他出的这套题Grakn Forces 2020，就立马开始补这套题，果然不出我所料，全是iq题（误

题目

m个set中有1-n的一些数，首先我们可以把一个数 j 从set i 中删除，代价是 \(a[i]+b[j]\) ，至于为什么要删除之后再说

接着我们对于每个set i，\(\forall x,y \in i\)，建边\((x,y)\)并染色为 \(i\) 。

最后我们定义\(Rainbow Cycle\)为从某个节点x 出发，经过一个回路能够重新回到x 且，回路中的边颜色两两各不相同

问题是求出最小的删除费用使得图中没有\(RainbowCycle\)

题解

核心：建图跑最小生成树

建图方式：数 \(j\) 在set \(i\) 里就建一条边\((n+i,j)\) ，这样实际上每个\(x,y\)在set里的都已经联通了，\(RainbowCycle\) 其实就变成了新图里的一条普通回路

问题就很明显了，一个没有环的图且删边费用最小就是最大生成树

总结

给\((x,y)\)边染色为\(z\)，可以增加一个新节点\(n+z(防止点重复)\) ，建两条边\((x,n+z),(n+z,y)\) 这样方便对边进行操作

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e5+10;
int pre[N],tot=0;
ll a[N],b[N];
struct E
{
    int x,y;
    ll val;
    E(int x1,int y1,ll val1){
        x=x1;y=y1;val=val1;
    };
    E(){
        x=y=val=0;
    };
}edge[2*N];
bool cmp(E x,E y)
{
    return x.val>y.val;
}
int find(int x)
{
    if(pre[x]==x) return x;
    else return pre[x]=find(pre[x]);
}
int merge(int x,int y)
{
    int fx=find(x),fy=find(y);
    if(fx==fy) return 0;
    pre[fx]=fy;
    return 1;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lld",&b[m+j]);
    for(int i=1;i<=m+n;i++) pre[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x;scanf("%d",&x);
        for(int j=1;j<=x;j++){
            int y;scanf("%d",&y);
            E cnt(i,m+y,a[i]+b[m+y]);
            edge[++tot]=cnt;
        }
    }
    sort(edge+1,edge+tot+1,cmp);
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        E cnt=edge[i];
        int x=cnt.x,y=cnt.y;
        if(merge(x,y)){
            continue;
        }
        else{
            res+=cnt.val;
            //cout<<x<<' '<<y<<' '<<cnt.val<<endl;
        }
    }
    printf("%lld\n",res);
}