Aizu2970 Permutation Sort
题目大意
给你两个 \(n\) 个整数的排列,第一个排列表示原排列,第二个排列表示第 \(i\) 个数可以和i变成第 \(g_i\) 个数,问,最少对所有数进行几次操作可以使原排列变为有序的排列。
题解
首先,我们可以利用第二个排列建图,易得每一个点只有一个出度,一个入度,所以这幅图只由简单环和自环组成。
我们还可以发现,在环上跑大于环的长度的距离等同于跑两点之间的直线距离,也就是说如果环的长度为 \(cnt_i\) ,两点之间的直线距离为 \(x_i\) ,我们要求的距离为 \(d\) ,那么 $d\equiv x_i(mod~cnt_i) $ 。根据每一个 \(i\) ,我们都可以列出这么一个方程,于是问题就转变为求 \(n\) 个同余方程的最小公共解,使用扩展中国剩余定理即可。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=205;
int n;
int a[N],to[N];
int e[N][N];
int tag[N],cnt[N];
void dfs(int p,int nam)
{
tag[p]=nam;
cnt[nam]++;
if(!tag[to[p]])
dfs(to[p],nam);
return ;
}
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
}
signed main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
e[i][j]=1e18+5;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>to[i];
e[i][to[i]]=1;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
e[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;++k)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
e[i][j]=min(e[i][j],e[i][k]+e[k][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(e[a[i]][i]>=1e18+5)
{
printf("-1\n");
return 0;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(!tag[i])
dfs(i,i);
}
int M=cnt[tag[1]],ans=e[a[1]][1];
for(int i=2;i<=n;++i)
{
int x,y,tmp=gcd(M,cnt[tag[i]]),now=((e[a[i]][i]-ans)%cnt[tag[i]]+cnt[tag[i]])%cnt[tag[i]];
if(now%tmp)
{
printf("-1\n");
return 0;
}
exgcd(M,cnt[tag[i]],x,y);
x*=now/tmp;
ans+=x*M;
M*=cnt[tag[i]]/tmp;
ans=(ans%M+M)%M;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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