【BZOJ3307】雨天的尾巴 题解（树链剖分+树上差分）

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题目大意：给定一颗含有$n$个结点的树，每次选择两个结点$x$和$y$，对从$x$到$y$的路径上发放一带$z$类型的物品。问完成所有操作后每个结点发放最多的时哪种物品。

普通的树链剖分貌似也可以做这道题，可以记录一个$c$数组用来记录结点中每种物品的个数，然后暴力乱搞。空间可能会炸。

这时候我们需要一种新算法：树上差分。

关于树上差分，有需要的同学可以去看大佬的博客，我这里说一下思想。

对于序列的差分，我们都知道，假设让序列中$i-j$的数都加上$z$，那么直接让差分数组$b[i]+=z$，$b[j]-=z$即可。放到一颗树中（其实这里变成了子树和），让路径上$s-t$的结点都加上$k$，我们只需在$s,t$加上$k$，在$lca(s,t),fa[lca(s,t)]$减去$k$即可。实际上树上差分的实现形式多种多样，我们可以根据题目需要来作改动。

对于此题，我们不妨用$\log n$的时间把路径$x,y$拆分成$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots ,[a_k,b_k]$这样多个区间的形式，每次在$a_i$处加上$z$，在$b_i+1$处减去$z$。写起来是这样的：

inline void chai(int x,int y,int c)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        Add(dfn[top[x]],c);Add(dfn[x]+,-c);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    Add(dfn[x],c);Add(dfn[y]+,-c);
}

个数可以用线段树维护。其实正解应该是动态开点+线段树合并之类的高级算法，但是我不会QAQ。所以只写了较为普通的线段树维护。时间复杂度$n\log n$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=;
int n,m;
int size[maxn],son[maxn],dep[maxn],fa[maxn];
int dfn[maxn],cnt,w[maxn],top[maxn],ans[maxn];//w[dfn[x]]=x; ans[w[i]]=sum;
int head[maxn*],jishu;
int Head[maxn*],Jishu;
struct node
{
    int next,to,val;
}edge[maxn*],Edge[maxn*];//Edge chai
struct tre
{
    int maxx,pos;
}tree[maxn*];
inline int read()
{
    int x=,f=;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void add(int from,int to)
{
    edge[++jishu].next=head[from];
    edge[jishu].to=to;
    head[from]=jishu;
}
inline void Add(int from,int val)
{
    Edge[++Jishu].next=Head[from];
    Edge[Jishu].val=val;
    Head[from]=Jishu;
}
inline void dfs_son(int now,int f,int deep)
{
    dep[now]=deep;
    fa[now]=f;
    size[now]=;
    int maxson=-;
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (to==f) continue;
        dfs_son(to,now,deep+);
        size[now]+=size[to];
        if (maxson<size[to]) maxson=size[to],son[now]=to;
    }
}
inline void dfs(int now,int tp)
{
    dfn[now]=++cnt;
    top[now]=tp;
    w[cnt]=now;
    if (son[now]) dfs(son[now],tp);
    for (int i=head[now];i;i=edge[i].next)
    {
        int to=edge[i].to;
        if (dfn[to]) continue;
        dfs(to,to);
    }
}
inline void pushup(int index)
{
    if (tree[index*].maxx>=tree[index*+].maxx) tree[index].maxx=tree[index*].maxx,tree[index].pos=tree[index*].pos;
    else tree[index].maxx=tree[index*+].maxx,tree[index].pos=tree[index*+].pos;
}
inline void build(int index,int l,int r)
{
    if (l==r){tree[index].maxx=;tree[index].pos=l;return;}
    int mid=(l+r)>>;
    build(index*,l,mid);
    build(index*+,mid+,r);
    pushup(index);
}
inline void update(int index,int l,int r,int pos,int k)
{
    if (l==r){tree[index].maxx+=k;return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if (pos<=mid) update(index*,l,mid,pos,k);
    if (pos>mid) update(index*+,mid+,r,pos,k);
    pushup(index);
}
inline void chai(int x,int y,int c)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        Add(dfn[top[x]],c);Add(dfn[x]+,-c);
        x=fa[top[x]];
    }
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    Add(dfn[x],c);Add(dfn[y]+,-c);
}
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    for (int i=;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs_son(,,);
    dfs(,);
    for (int i=;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),z=read();
        chai(x,y,z);
    }
    build(,,);
    //for (int i=1;i<=n;i++) cout<<w[i]<<endl;
    for (int i=;i<=n;i++)
    {
        for (int j=Head[i];j;j=Edge[j].next)
        {
            if (Edge[j].val>) update(,,,Edge[j].val,);
            else update(,,,-Edge[j].val,-);
        }
        ans[w[i]]=tree[].maxx?tree[].pos:;
    }
    //cout<<Jishu;
    for (int i=;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
    return ;
}